3.统计2880个婴儿的出生时刻,得到观测值(单位:个)如下:-|||-0:00-2:00 . 2:00-4:00 . 4:00-6:00 . 6:00-8:00 . 8:00-10:00 10:00-12:00-|||-266 281 249 242 248 240-|||-12:00-14:00 14:00-16:00 16:00-18:00 18:00-20:00 20:00-22:00 22:00-24:00-|||-255 209 209 196 219 266-|||-试检验婴儿的出生是否均匀.( alpha =0.05

考查要点：本题主要考查卡方拟合优度检验的应用，用于判断观测频数是否符合均匀分布。

解题核心思路：

1. 确定理论频数：若出生时刻均匀分布，则每个时间段的理论频数为总样本数除以时间段数。
2. 计算卡方统计量：通过公式 $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$，比较观测频数与理论频数的差异。
3. 判断假设：将计算出的卡方值与临界值比较，若超过临界值，则拒绝原假设（认为不均匀）。

破题关键点：

• 理论频数的计算：需确认时间段划分是否等概率。
• 卡方公式的准确应用：注意每个单元格的独立计算与求和。

1. 确定理论频数

总样本数为 $2880$，时间段数为 $12$，若均匀分布，则每个时间段的理论频数为：
$E_i = \frac{2880}{12} = 240$

2. 计算卡方统计量

将观测频数 $O_i$ 与理论频数 $E_i = 240$ 代入公式：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{12} \frac{(O_i - 240)^2}{240}$

具体计算过程（部分示例）：

• 0:00-2:00：$\frac{(266-240)^2}{240} = \frac{26^2}{240} \approx 2.8167$
• 2:00-4:00：$\frac{(281-240)^2}{240} = \frac{41^2}{240} \approx 6.9958$
• ...（其余时间段同理）
• 22:00-24:00：$\frac{(266-240)^2}{240} \approx 2.8167$

总和：将所有时间段的值相加，最终得：
$\chi^2 = 32.111$

3. 判断假设

• 自由度：$12 - 1 = 11$
• 临界值：查表得 $\chi^2_{0.05}(11) \approx 19.023$
• 结论：因 $32.111 > 19.023$，拒绝原假设，认为出生时刻不均匀分布。