题目
设总体Xsim N(mu,sigma^2)，(X_(1),X_(2),X_(3))是来自X的样本，hat(mu)=(1)/(7)X_(1)+aX_(2)+(4)/(7)X_(3)是未知参数mu的无偏估计.则当a=(3)/(7)时，是未知参数mu的无偏估计.A. 对B. 错
设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$(X_{1},X_{2},X_{3})$是来自X的样本，$\hat{\mu}=\frac{1}{7}X_{1}+aX_{2}+\frac{4}{7}X_{3}$是未知参数$\mu$的无偏估计.
则当$a=\frac{3}{7}$时，是未知参数$\mu$的无偏估计.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：计算估计量的期望值
给定估计量 $\hat{\mu} = \frac{1}{7}X_1 + aX_2 + \frac{4}{7}X_3$，其中 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。为了使 $\hat{\mu}$ 成为 $\mu$ 的无偏估计，需要满足 $E(\hat{\mu}) = \mu$。
步骤 2：代入 $a = \frac{3}{7}$ 并计算期望值
将 $a = \frac{3}{7}$ 代入估计量 $\hat{\mu}$，得到 $\hat{\mu} = \frac{1}{7}X_1 + \frac{3}{7}X_2 + \frac{4}{7}X_3$。计算期望值：\[ E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{1}{7}X_1 + \frac{3}{7}X_2 + \frac{4}{7}X_3\right) = \frac{1}{7}E(X_1) + \frac{3}{7}E(X_2) + \frac{4}{7}E(X_3) \] 由于 $X_1, X_2, X_3$ 都是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，所以 $E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$。因此，\[ E(\hat{\mu}) = \frac{1}{7}\mu + \frac{3}{7}\mu + \frac{4}{7}\mu = \frac{8}{7}\mu \] 步骤 3：判断是否为无偏估计
由于 $E(\hat{\mu}) = \frac{8}{7}\mu \neq \mu$，所以 $\hat{\mu}$ 不是 $\mu$ 的无偏估计。
给定估计量 $\hat{\mu} = \frac{1}{7}X_1 + aX_2 + \frac{4}{7}X_3$，其中 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。为了使 $\hat{\mu}$ 成为 $\mu$ 的无偏估计，需要满足 $E(\hat{\mu}) = \mu$。
步骤 2：代入 $a = \frac{3}{7}$ 并计算期望值
将 $a = \frac{3}{7}$ 代入估计量 $\hat{\mu}$，得到 $\hat{\mu} = \frac{1}{7}X_1 + \frac{3}{7}X_2 + \frac{4}{7}X_3$。计算期望值：\[ E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{1}{7}X_1 + \frac{3}{7}X_2 + \frac{4}{7}X_3\right) = \frac{1}{7}E(X_1) + \frac{3}{7}E(X_2) + \frac{4}{7}E(X_3) \] 由于 $X_1, X_2, X_3$ 都是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，所以 $E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$。因此，\[ E(\hat{\mu}) = \frac{1}{7}\mu + \frac{3}{7}\mu + \frac{4}{7}\mu = \frac{8}{7}\mu \] 步骤 3：判断是否为无偏估计
由于 $E(\hat{\mu}) = \frac{8}{7}\mu \neq \mu$，所以 $\hat{\mu}$ 不是 $\mu$ 的无偏估计。