题目
设X_1,X_2,...,X_n为总体Xsim N(0,1)的一个样本，overline(X)为样本均值，S^2为样本方差，则有（）。A. overline(X)sim N(0,1)。B. noverline(X)sim N(0,1)。C. overline(X)/Ssim t(n-1)。D. (n-1)X_1^2/sum_(i=2)^n X_i^2sim F(1,n-1)。
设$X_1,X_2,\cdots,X_n$为总体$X\sim N(0,1)$的一个样本，$\overline{X}$为样本均值，$S^2$为样本方差，则有（）。
A. $\overline{X}\sim N(0,1)$。
B. $n\overline{X}\sim N(0,1)$。
C. $\overline{X}/S\sim t(n-1)$。
D. $(n-1)X_1^2/\sum_{i=2}^n X_i^2\sim F(1,n-1)$。
题目解答
答案
D. $(n-1)X_1^2/\sum_{i=2}^n X_i^2\sim F(1,n-1)$。
解析
步骤 1：分析样本均值 $\overline{X}$ 的分布
- 由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本，样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，方差为 $\frac{1}{n}$，而非标准正态分布，因此选项 A 错误。
步骤 2：分析 $n\overline{X}$ 的分布
- $n\overline{X}$ 的方差为 $n$，而非标准正态分布，因此选项 B 错误。
步骤 3：分析 $\frac{\overline{X}}{S}$ 的分布
- $\frac{\overline{X}}{S}$ 需除以 $\sqrt{n}$ 才服从 $t(n-1)$ 分布，因此选项 C 错误。
步骤 4：分析 $\frac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2}$ 的分布
- $X_1^2 \sim \chi^2(1)$，$\sum_{i=2}^n X_i^2 \sim \chi^2(n-1)$，由 $F$ 分布定义得 $\frac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$，因此选项 D 正确。
- 由于 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本，样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，方差为 $\frac{1}{n}$，而非标准正态分布，因此选项 A 错误。
步骤 2：分析 $n\overline{X}$ 的分布
- $n\overline{X}$ 的方差为 $n$，而非标准正态分布，因此选项 B 错误。
步骤 3：分析 $\frac{\overline{X}}{S}$ 的分布
- $\frac{\overline{X}}{S}$ 需除以 $\sqrt{n}$ 才服从 $t(n-1)$ 分布，因此选项 C 错误。
步骤 4：分析 $\frac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2}$ 的分布
- $X_1^2 \sim \chi^2(1)$，$\sum_{i=2}^n X_i^2 \sim \chi^2(n-1)$，由 $F$ 分布定义得 $\frac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$，因此选项 D 正确。