题目

求极限 lim_(x to 0) (e - e^cos x)/(sqrt[3](1 + x^2) - 1).

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1 + x^2} - 1}$.

题目解答

答案

我们来求极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1 + x^2} - 1}$

第一步：观察极限形式

当 $ x \to 0 $ 时：

  • $\cos x \to 1$，所以 $e^{\cos x} \to e$，分子 $e - e^{\cos x} \to 0$
  • $\sqrt[3]{1 + x^2} \to \sqrt[3]{1} = 1$，所以分母 $\sqrt[3]{1 + x^2} - 1 \to 0$

因此这是一个 0/0 型极限，可以考虑使用洛必达法则或泰勒展开。

第二步：使用泰勒展开法

我们对分子和分母分别进行泰勒展开，以 $ x \to 0 $ 为中心。

分子部分：$ e - e^{\cos x} $

首先，对 $\cos x$ 展开：

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$

代入 $ e^{\cos x} $：

$e^{\cos x} = e^{1 - \frac{x^2}{2} + \cdots} = e \cdot e^{-\frac{x^2}{2} + \cdots}$

利用 $ e^a \approx 1 + a $（当 $ a \to 0 $ 时）：

$e^{\cos x} \approx e \left(1 - \frac{x^2}{2} \right)$

所以：

$e - e^{\cos x} \approx e - e \left(1 - \frac{x^2}{2} \right) = e \cdot \frac{x^2}{2}$

分母部分：$\sqrt[3]{1 + x^2} - 1$

对 $\sqrt[3]{1 + x^2}$ 使用泰勒展开：

$(1 + x^2)^{1/3} \approx 1 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{9}x^4 + \cdots$

所以：

$\sqrt[3]{1 + x^2} - 1 \approx \frac{1}{3}x^2$

第三步：代入极限表达式

将分子和分母的近似值代入原极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1 + x^2} - 1} \approx \lim_{x \to 0} \frac{e \cdot \frac{x^2}{2}}{\frac{1}{3}x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e}{2} \cdot \frac{x^2}{\frac{1}{3}x^2} = \frac{e}{2} \cdot 3 = \frac{3e}{2}$

✅ 最终答案：

$\boxed{\frac{3e}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换和泰勒展开法在求解0/0型极限中的应用。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，分子$e - e^{\cos x}$和分母$\sqrt[3]{1 + x^2} - 1$均趋近于0，属于0/0型不定式。此时可通过泰勒展开将分子和分母展开到足够阶数，提取主部后进行约简，从而求得极限值。

破题关键点：

  1. 分子部分：将$\cos x$展开为泰勒多项式，代入$e^{\cos x}$后利用指数函数的展开式，保留到$x^2$项。
  2. 分母部分：对$\sqrt[3]{1 + x^2}$使用泰勒展开，保留到$x^2$项。
  3. 约简主部：将分子和分母的主部代入原式，消去$x^2$项后直接计算系数比值。

分子部分展开

  1. 展开$\cos x$：
    $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
  2. 代入$e^{\cos x}$：
    $e^{\cos x} = e^{1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)} = e \cdot e^{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)}$
  3. 利用$e^a \approx 1 + a$（$a \to 0$）：
    $e^{\cos x} \approx e \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)$
  4. 计算分子：
    $e - e^{\cos x} \approx e - e \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{e x^2}{2}$

分母部分展开

  1. 展开$\sqrt[3]{1 + x^2}$：
    $(1 + x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{9}x^4 + o(x^4)$
  2. 计算分母：
    $\sqrt[3]{1 + x^2} - 1 \approx \frac{1}{3}x^2$

代入极限表达式

将分子和分母的主部代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e x^2}{2}}{\frac{1}{3}x^2} = \frac{e}{2} \cdot 3 = \frac{3e}{2}$