题目
设((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3))是标准正态总体的样本，若((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3))，则((X)_(1),(X)_(2),(X)_(3))______.
设
是标准正态总体的样本，若
，则
______.
题目解答
答案
来自总体的样本相互独立且都服从标准正态总体X的分布，则
，则
，
，则
，则
，则
.
解析
步骤 1：确定样本的分布
由于X1, X2, X3是从标准正态总体中抽取的样本，因此每个样本都服从标准正态分布，即${X}_{i}\sim N(0,1)$，其中i=1,2,3。
步骤 2：计算线性组合的期望和方差
对于线性组合$2{X}_{1}+{X}_{2}$，其期望和方差分别为：
$E(2{X}_{1}+{X}_{2})=2E({X}_{1})+E({X}_{2})=0$，
$D(2{X}_{1}+{X}_{2})=4D({X}_{1})+D({X}_{2})=4+1=5$。
步骤 3：标准化线性组合
由于$2{X}_{1}+{X}_{2}\sim N(0,5)$，则$\dfrac{2{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{5}}\sim N(0,1)$，即标准化后的线性组合服从标准正态分布。
步骤 4：确定卡方分布
由于${(\dfrac{2{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{5}})}^{2}\sim {\chi}^{2}(1)$，且${X}_{3}^{2}\sim {\chi}^{2}(1)$，则${(\dfrac{2{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{5}})}^{2}+{X}_{3}^{2}\sim {\chi}^{2}(2)$。
步骤 5：确定k的值
根据题目条件${(2{x}_{1}+{{x}_{2}})}^{2}+{{x}_{3}}^{2}\sim {x}^{2}(2)$，则有$\dfrac{1}{5}{(2{x}_{1}+{x}_{2})}^{2}+{{x}_{3}}^{2}\sim {x}^{2}(2)$，因此$k=\dfrac{1}{5}$。
由于X1, X2, X3是从标准正态总体中抽取的样本，因此每个样本都服从标准正态分布，即${X}_{i}\sim N(0,1)$，其中i=1,2,3。
步骤 2：计算线性组合的期望和方差
对于线性组合$2{X}_{1}+{X}_{2}$，其期望和方差分别为：
$E(2{X}_{1}+{X}_{2})=2E({X}_{1})+E({X}_{2})=0$，
$D(2{X}_{1}+{X}_{2})=4D({X}_{1})+D({X}_{2})=4+1=5$。
步骤 3：标准化线性组合
由于$2{X}_{1}+{X}_{2}\sim N(0,5)$，则$\dfrac{2{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{5}}\sim N(0,1)$，即标准化后的线性组合服从标准正态分布。
步骤 4：确定卡方分布
由于${(\dfrac{2{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{5}})}^{2}\sim {\chi}^{2}(1)$，且${X}_{3}^{2}\sim {\chi}^{2}(1)$，则${(\dfrac{2{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{5}})}^{2}+{X}_{3}^{2}\sim {\chi}^{2}(2)$。
步骤 5：确定k的值
根据题目条件${(2{x}_{1}+{{x}_{2}})}^{2}+{{x}_{3}}^{2}\sim {x}^{2}(2)$，则有$\dfrac{1}{5}{(2{x}_{1}+{x}_{2})}^{2}+{{x}_{3}}^{2}\sim {x}^{2}(2)$，因此$k=\dfrac{1}{5}$。