题目

已知样本(X)_(1)，(X)_(2)，... ，(X)_(16)取自正态分布总体N(0,16)，overline(X)为样本均值，已知P overline {X)geqslant lambda } =0.01，则lambda = .

已知样本${X}_{1}$，${X}_{2}$，$\cdots $，${X}_{16}$取自正态分布总体$N\left(0,16\right)$，$\overline{X}$为样本均值，已知$P\{ \overline {X}\geqslant \lambda \} =0.01$，则$\lambda =$        .

题目解答

答案

解析

本题考查正态分布分布的性质以及标准正态分布表的应用。解题的关键思路是先根据已知条件确定样本均值$\overline{X}$的分布，然后将$\overline{X}$进行标准化变换，最后结合标准正态分布表来求解$\lambda$的值。

  1. 确定样本均值$\overline{X}$的分布：
    已知样本${X}_{1}$，${X}_{2}$，$\cdots$，${X_{16}$取自正态分布总体$N(0,16)$，即总体均值$\mu = 0$，总体方差$\sigma^2 = 16$，那么总体标准差$\sigma = \sqrt{16} = 4$。
    根据正态分布的性质：若总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本容量为$n$，则样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
    在本题中，$n = 16$，所以$\overline{X}\sim N(0,\frac{16}{16}) = N(0,1)$。
  2. 对$\overline{X}$进行标准化变换：
    设$Z = \frac{\overline{X} - \mu\} / \{\sigma / \sqrt{n}\}$，将$\mu = 0$，\able$\sigma = 4$，$n = 16$代入可得$Z = \frac{\overline{X} - 0}}{4 / \sqrt{16}} = \frac{\overline{X}}{1} = \overline{X}$，即$\overline{X}$经过标准化变换后仍为标准正态分布$Z\sim N(0,1)$。
    已知$P\{\overline{X}\geqslant \lambda\} = 0.01$，根据概率的性质$P\{\overline{X}\geqslant \lambda\} = 1 - P\{\overline{X} < \lambda\}$，可得$1 - P\{\overline{X} < \lambda\} = 0.01$，即$P\{\overline{X} < \lambda\} = 1 - 0.01 = 0.99$。
    因为$\overline{X}$与$Z$分布相同，所以$P\{Z < \lambda\} = 0.99$。
  3. 查标准正态分布表求$\lambda$的值：
    通过查阅标准正态分布表，找到使得$\varPhi(\lambda) = 0.99$的$\lambda$值，可得$\lambda = 2.33$。