100件产品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品。从中任取5件，以X，Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求(X,Y)的联合分布列:(1)不放回抽取;(2)有放回抽取.

考查要点：本题主要考查超几何分布和多项分布的应用，涉及不放回抽样与有放回抽样的联合分布列求解。

解题核心思路：

1. 不放回抽样：属于多重超几何分布，需计算从不同类别中选取指定数量的组合数之比。
2. 有放回抽样：属于多项分布，需利用独立事件的概率乘法公式结合排列组合计算。

破题关键点：

• 分类讨论：明确两种抽样方式对应的概率模型。
• 约束条件：始终满足一等品数$X$、二等品数$Y$及三等品数之和为5，即$i + j \leq 5$。

(1) 不放回抽取

概率公式推导

从100件产品中不放回抽取5件，联合概率为：
$P\{X=i, Y=j\} = \frac{{C}_{50}^{i} {C}_{30}^{j} {C}_{20}^{5-i-j}}{{C}_{100}^{5}}$
其中，$i, j$满足$i + j \leq 5$，且$5 - i - j \geq 0$。

关键步骤

1. 组合数计算：分别从一等品、二等品、三等品中选取$i$、$j$、$5-i-j$件。
2. 分母统一：所有可能的抽取方式为${C}_{100}^{5}$。
3. 约束条件：若$5 - i - j > 20$或参数为负数，则对应概率为0。

(2) 有放回抽取

概率公式推导

每次抽取独立，联合概率为多项分布：
$P\{X=i, Y=j\} = \frac{5!}{i!j!(5-i-j)!} \left(0.5\right)^i \left(0.3\right)^j \left(0.2\right)^{5-i-j}$
其中，$i, j$满足$i + j \leq 5$。

关键步骤

1. 多项式系数：$\frac{5!}{i!j!(5-i-j)!}$表示排列方式数。
2. 概率乘积：各等品概率的独立乘积。
3. 约束条件：若$5 - i - j < 0$，则概率为0。