题目

证明：3 mid n(n+1)(2n+1)，其中 n 是任意整数。

证明：$3 \mid n(n+1)(2n+1)$，其中 $n$ 是任意整数。

题目解答

答案

我们要证明：对于任意整数 $ n $，都有
$3 \mid n(n+1)(2n+1)$
也就是说，$ n(n+1)(2n+1) $ 能被 3 整除。

解题思路：

要证明一个表达式能被 3 整除，我们可以考虑 模 3 的余数。
因为任意整数 $ n $ 除以 3 的余数只能是 0、1 或 2，
所以我们可以对 $ n $ 按模 3 分类讨论，即考虑三种情况：

  • $ n \equiv 0 \pmod{3} $
  • $ n \equiv 1 \pmod{3} $
  • $ n \equiv 2 \pmod{3} $

对每种情况，计算 $ n(n+1)(2n+1) \mod 3 $，看是否为 0。

情况 1：$ n \equiv 0 \pmod{3} $

即 $ n $ 能被 3 整除。

那么显然 $ n $ 是 3 的倍数，
所以乘积 $ n(n+1)(2n+1) $ 中有一个因子是 3 的倍数，
因此整个乘积能被 3 整除。

即：
$n(n+1)(2n+1) \equiv 0 \pmod{3}$

✅ 成立。

情况 2：$ n \equiv 1 \pmod{3} $

代入：

  • $ n \equiv 1 \pmod{3} $
  • $ n+1 \equiv 2 \pmod{3} $
  • $ 2n+1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \equiv 0 \pmod{3} $

所以 $ 2n+1 \equiv 0 \pmod{3} $，即 $ 2n+1 $ 能被 3 整除。

因此乘积中有一个因子是 3 的倍数，
所以整个乘积能被 3 整除。

即：
$n(n+1)(2n+1) \equiv 1 \cdot 2 \cdot 0 = 0 \pmod{3}$

✅ 成立。

情况 3：$ n \equiv 2 \pmod{3} $

代入：

  • $ n \equiv 2 \pmod{3} $
  • $ n+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} $
  • 所以 $ n+1 $ 能被 3 整除。

因此乘积中 $ n+1 $ 是 3 的倍数，
所以整个乘积能被 3 整除。

即：
$n(n+1)(2n+1) \equiv 2 \cdot 0 \cdot (2\cdot2+1) = 0 \pmod{3}$

✅ 成立。

结论：

在模 3 的所有可能余数（0、1、2）下，
$ n(n+1)(2n+1) $ 都能被 3 整除。

因此，对任意整数 $ n $，都有：
$3 \mid n(n+1)(2n+1)$

答案：

$\boxed{3 \mid n(n+1)(2n+1) \quad \text{对任意整数 } n \text{ 成立}}$

解析

本题考查整数的整除性以及模运算的知识。解题思路是利用任意整数除以 3 的余数只能是 0、1 或 2 这一性质，对整数 $n$ 按模 3 进行分类讨论，分别计算在不同余数情况下 $n(n + 1)(2n + 1)$ 模 3 的结果，若结果为 0，则说明 $n(n + 1)(2n + 1)$ 能被 3 整除。

  1. 情况 1：当 $n \equiv 0 \pmod{3}$ 时
    • 这意味着 $n$ 能被 3 整除，即存在整数 $k$ 使得 $n = 3k$。
    • 那么 $n(n + 1)(2n + 1)=3k(3k + 1)(2\times3k+1)$，因为式子中有一个因子 $3k$ 是 3 的倍数，所以整个乘积 $n(n + 1)(2n + 1)$ 能被 3 整除，即 $n(n + 1)(2n + 1)\equiv0\pmod{3}$。
  2. 情况 2：当 $n \equiv 1 \pmod{3}$ 时
    • 此时 $n+1\equiv1 + 1=2\pmod{3}$，$2n + 1=2\times1+1 = 3\equiv0\pmod{3}$。
    • 所以 $n(n + 1)(2n + 1)\equiv1\times2\times0 = 0\pmod{3}$，这表明 $n(n + 1)(2n + 1)$ 能被 3 整除。
  3. 情况 3：当 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 时
    • 则 $n + 1\equiv2+1 = 3\equiv0\pmod{3}$。
    • 所以 $n(n + 1)(2n + 1)\equiv2\times0\times(2\times2 + 1)=0\pmod{3}$，说明 $n(n + 1)(2n + 1)$ 能被 3 整除。