题目

讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数。

题目解答

答案

正确答案:设φ(x)=ln4x-4lnx+4x-k,则有φ’(x)=易知,x=1是φ(x)的驻点。当01时,φ(x)>0,即φ(x)单调增加,故φ(1)=4-k为函数φ(x)的最小值。当k<4,即4-k>0时,φ(x)=0无实根,即两条曲线无交点;当k=4,即4-k=0时,φ(x)=0有唯一实根,即两条曲线只有一个交点;当k>4,即4-k<0时,且[lnx(ln3x-4)+4x-k]=+∞;[lnx(ln3x-4)+4x-k]=+∞,故φ(x)=0有两个实根,分别位于(0,1)与(1,+∞)内,即两条曲线有两个交点。涉及知识点:一元函数微分学

解析

步骤 1：定义函数
设φ(x)=ln4x-4lnx+4x-k，这是由曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数问题转化而来的函数。
步骤 2：求导数
φ’(x)=d/dx(ln4x-4lnx+4x-k) = 1/x - 4/x + 4 = 4 - 3/x。
步骤 3：分析导数
当01时，φ’(x)>0，即φ(x)单调增加。因此，x=1是φ(x)的驻点。
步骤 4：求φ(x)的最小值
φ(1)=ln4-4ln1+4-k=4-k，即φ(x)的最小值为4-k。
步骤 5：讨论φ(x)=0的实根情况
当k<4时，φ(x)=0无实根，即两条曲线无交点；当k=4时，φ(x)=0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k>4时，φ(x)=0有两个实根，分别位于(0,1)与(1,+∞)内，即两条曲线有两个交点。