利用数列极限的定义证明:-|||-lim _(narrow infty )dfrac (sqrt {{n)^2+(a)^2}}(n)=1 ;

步骤 1：定义数列极限
数列极限的定义是：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|\dfrac {\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}}{n}-1| < \varepsilon$。

步骤 2：化简表达式
我们首先化简表达式 $|\dfrac {\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}}{n}-1|$：
$$
|\dfrac {\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}}{n}-1| = |\dfrac {\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}-n}{n}|
$$
$$
= |\dfrac {(\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}-n)(\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}+n)}{n(\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}+n)}|
$$
$$
= |\dfrac {{n}^{2}+{a}^{2}-{n}^{2}}{n(\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}+n)}|
$$
$$
= |\dfrac {{a}^{2}}{n(\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}+n)}|
$$
$$
= \dfrac {{a}^{2}}{n(\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}+n)}
$$
步骤 3：找到合适的 $N$
为了使 $\dfrac {{a}^{2}}{n(\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}+n)} < \varepsilon$，我们注意到当 $n$ 足够大时，$\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}$ 接近 $n$，因此可以近似为：
$$
\dfrac {{a}^{2}}{n(\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}+n)} < \dfrac {{a}^{2}}{n(2n)} = \dfrac {{a}^{2}}{2{n}^{2}}
$$
要使 $\dfrac {{a}^{2}}{2{n}^{2}} < \varepsilon$，则需要 $n > \sqrt{\dfrac {{a}^{2}}{2\varepsilon}}$。因此，取 $N = \left[\sqrt{\dfrac {{a}^{2}}{2\varepsilon}}\right]$，当 $n > N$ 时，有 $|\dfrac {\sqrt {{n}^{2}+{a}^{2}}}{n}-1| < \varepsilon$。