题目
【题目】设随机变量 X∼N(1,4) 求 P(0X≤1.6)
【题目】设随机变量 X∼N(1,4) 求 P(0X≤1.6)
题目解答
答案
【解析】解这里 μ=1 , σ=2 因为 X∼N(1,4) 所以(X-1)/2∼N(0,1) .于是,查表得P(0X≤1.6)=Φ((1.6-1)/2)-Φ((0-1)/2)=Φ(0.3)-Φ(-0.5) P{0X≤1.6}(0.3)-(-0.5)=φ(0.3)-[1-Φ(0.5)] =0.6179-1+0.6915=0.3094.特别地,若 X∼N(μ,σ^2) 则对任意正整数k有P(|x-μ|kσ)=Pμ-kσxμ+kσ) =Φ((μ+hσ-μ)/σ)-Φ((μ-kσ-μ)/σ) =φ(k)-φ(-k)=2Φ(k-1) 则P(|X-μ|σ)=2Φ(1)-1=0.6826 P(|X|)=1+|20|=2Φ(2)-1=09544 ,P(|X-μ|3σ)=2φ(3)-1=0.9974.这说明,尽管正态变量的取值范围是 (-∞,+∞) ,但它的值落在(μ-3o,μ+3)内几乎是肯定的(图2.11).这正是正态分布在经济管理应用中的“3原则”的来源30u-2u-u+20u+3o68.2695.44%99.74%图2.11
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
随机变量 X 服从正态分布 N(1, 4)，其中 μ=1，σ=2。
步骤 2：标准化随机变量
将 X 标准化为标准正态分布，即 (X-μ)/σ∼N(0,1)。因此，(X-1)/2∼N(0,1)。
步骤 3：计算概率
根据标准化后的随机变量，计算 P(0
步骤 4：查表并计算
查标准正态分布表，得到 Φ(0.3) ≈ 0.6179 和 Φ(-0.5) ≈ 0.3085。因此，P(0
随机变量 X 服从正态分布 N(1, 4)，其中 μ=1，σ=2。
步骤 2：标准化随机变量
将 X 标准化为标准正态分布，即 (X-μ)/σ∼N(0,1)。因此，(X-1)/2∼N(0,1)。
步骤 3：计算概率
根据标准化后的随机变量，计算 P(0
步骤 4：查表并计算
查标准正态分布表，得到 Φ(0.3) ≈ 0.6179 和 Φ(-0.5) ≈ 0.3085。因此，P(0