4.某种电器有100个独立的电源可供使用，每个电源的寿命服从均值为10h的指数分布，求这些电器的使用总寿命大于1200h的概率.

本题考查中心极限定理的应用。解题思路如下：

1. 首先明确每个电源寿命服从指数分布，根据指数分布的性质求出其均值和方差。
2. 设$X_i$为第$i$个电源的寿命，$i = 1,2,\cdots,100$，那么$100$个电源的总寿命$S=\sum_{i = 1}^{100}X_i$。
3. 由于$n = 100$足够大，根据中心极限定理，$S$近似服从正态分布$N(n\mu,n\sigma^2)$，其中$\mu$是单个电源寿命的均值，$\sigma^2$是单个电源寿命的方差。
4. 求出$S$近似服从的正态分布的参数，然后将$S$标准化为标准正态变量$Z$。
5. 最后根据标准正态分布表计算$P(S>1200)$。

具体解析如下：

• 步骤一：求单个电源寿命的方差
  已知每个电源的寿命服从均值为$10h$的指数分布，对于指数分布$\text{Exp}(\lambda)$，其均值$\mu=\frac{1}{\lambda}$，方差$\sigma^2=\frac{1}{\lambda^2}$。
  因为$\mu = 10$，所以$\lambda=\frac{1}{10}$，则方差$\sigma^2=\frac{1}{(\frac{1}{10})^2}=100$。
• 步骤二：确定总寿命$S$近似服从的正态分布
  设$X_i$为第$i$个电源的寿命，$i = 1,2,\cdots,100$，$100$个电源的总寿命$S=\sum_{i = 1}^{100}X_i$。
  根据中心极限定理，当$n = 100$足够大时，$S$近似服从正态分布$N(n\mu,n\sigma^2)$，将$n = 100$，$\mu = 10$，$\sigma^2 = 100$代入可得$S$近似服从$N(100\times10,100\times100)=N(1000,10000)$。
• 步骤三：将$S$标准化为标准正态变量$Z$
  标准化公式为$Z=\frac{S - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}$，将$n = 100$，$\mu = 10$，$\sigma^2 = 100$代入可得：
  $Z=\frac{S - 1000}{\sqrt{10000}}=\frac{S - 1000}{100}$
• 步骤四：计算$P(S>1200)$
  $P(S>1200)=P\left(\frac{S - 1000}{100}>\frac{1200 - 1000}{100}\right)=P(Z > 2)$
  根据标准正态分布的性质$P(Z > 2)=1 - P(Z\leq2)$，查标准正态分布表可得$P(Z\leq2)\approx0.9772$，则$P(Z > 2)=1 - 0.9772 = 0.0228$。