题目
设随机变量 X 的概率密度和分布函数分别是 f(x) 和 F(x)，且 f(x)=f(-x)，则对任意实数 a，有 F(-a)=(）.A. (1)/(2)-F(a)B. (1)/(2)+F(a)C. 2F(a)-1D. 1-F(a).
设随机变量 $X$ 的概率密度和分布函数分别是 $f(x)$ 和 $F(x)$，且 $f(x)=f(-x)$，则对任意实数 $a$，有 $F(-a)=$(）.
A. $\frac{1}{2}-F(a)$
B. $\frac{1}{2}+F(a)$
C. $2F(a)-1$
D. $1-F(a)$.
题目解答
答案
D. $1-F(a)$.
解析
步骤 1：理解概率密度函数和分布函数的性质
概率密度函数 $f(x)$ 描述了随机变量 $X$ 在某一点 $x$ 的概率密度，而分布函数 $F(x)$ 则表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的累积概率。已知 $f(x) = f(-x)$，说明 $f(x)$ 是一个偶函数。
步骤 2：利用偶函数性质计算 $F(-a)$
分布函数 $F(x)$ 定义为：\[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt \] 我们需要找到 $F(-a)$。根据定义，我们有：\[ F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} f(t) \, dt \] 由于 $f(x)$ 是一个偶函数，我们可以使用偶函数的性质，即 $f(-t) = f(t)$。因此，我们可以重写积分，通过变换变量 $u = -t$。当 $t = -\infty$ 时，$u = \infty$，当 $t = -a$ 时，$u = a$。同时，$dt = -du$。所以，积分变为：\[ F(-a) = \int_{\infty}^a f(-u) (-du) = \int_{\infty}^a f(u) (-du) = \int_a^{\infty} f(u) \, du \] 积分 $\int_a^{\infty} f(u) \, du$ 是 $X$ 大于 $a$ 的概率，这可以表示为 $1 - F(a)$。因此，我们有：\[ F(-a) = 1 - F(a) \]
概率密度函数 $f(x)$ 描述了随机变量 $X$ 在某一点 $x$ 的概率密度，而分布函数 $F(x)$ 则表示随机变量 $X$ 小于等于 $x$ 的累积概率。已知 $f(x) = f(-x)$，说明 $f(x)$ 是一个偶函数。
步骤 2：利用偶函数性质计算 $F(-a)$
分布函数 $F(x)$ 定义为：\[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt \] 我们需要找到 $F(-a)$。根据定义，我们有：\[ F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} f(t) \, dt \] 由于 $f(x)$ 是一个偶函数，我们可以使用偶函数的性质，即 $f(-t) = f(t)$。因此，我们可以重写积分，通过变换变量 $u = -t$。当 $t = -\infty$ 时，$u = \infty$，当 $t = -a$ 时，$u = a$。同时，$dt = -du$。所以，积分变为：\[ F(-a) = \int_{\infty}^a f(-u) (-du) = \int_{\infty}^a f(u) (-du) = \int_a^{\infty} f(u) \, du \] 积分 $\int_a^{\infty} f(u) \, du$ 是 $X$ 大于 $a$ 的概率，这可以表示为 $1 - F(a)$。因此，我们有：\[ F(-a) = 1 - F(a) \]