【题目】设随机变量 X∼B(100,0.2) ,应用中心极限定理可得 P(x≥30)≈?(φ(2.5)=0.9938)

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何将二项分布转化为标准正态分布进行概率计算。

解题核心思路：

1. 确定二项分布的期望和方差，这是标准化的基础。
2. 应用中心极限定理，将二项分布近似为正态分布。
3. 标准化处理，将原概率问题转化为标准正态分布下的计算。
4. 利用标准正态分布函数，结合题目给出的Φ(2.5)值，计算最终结果。

破题关键点：

• 正确计算期望E(X)和方差D(X)。
• 准确进行标准化转换，即构造标准正态变量Z。
• 理解概率转换关系，P(X≥30)等价于P(Z≥2.5)，并利用标准正态分布的对称性求解。

步骤1：计算期望与方差
二项分布的期望为：
$E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0.2 = 20$
方差为：
$D(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 100 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 16$
标准差为：
$\sqrt{D(X)} = \sqrt{16} = 4$

步骤2：标准化处理
根据中心极限定理，当n较大时，$\frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}$ 近似服从标准正态分布N(0,1)。因此：
$P(X \geq 30) = P\left(\frac{X - 20}{4} \geq \frac{30 - 20}{4}\right) = P\left(Z \geq 2.5\right)$

步骤3：计算标准正态概率
标准正态分布的右侧概率可表示为：
$P(Z \geq 2.5) = 1 - \Phi(2.5)$
题目中给出$\Phi(2.5) = 0.9938$，因此：
$P(Z \geq 2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$