题目

设总体 X sim N(0, sigma^2)，(X_1, X_2, ..., X_n) 是来自总体 X 的样本，则 (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n X_i^2 服从的分布是()。A. chi^2(n)B. N(0,1)C. chi^2(n-1)D. chi^2

设总体 $X \sim N(0, \sigma^2)$，$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 是来自总体 $X$ 的样本，则 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 服从的分布是()。

A. $\chi^2(n)$

B. $N(0,1)$

C. $\chi^2(n-1)$

D. $\chi^2$

题目解答

答案

A. $\chi^2(n)$

解析

本题考查正态分布样本的平方和服从的分布，解题思路是根据正态分布的性质以及卡方分布的定义来确定$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2$服从的分布。

  1. 已知总体$X \sim N(0, \sigma^2)$，那么$\frac{X_i}{\sigma} \sim N(0, 1)$，$i = 1, 2, \cdots, n$。
  2. 根据卡方分布的定义：若$Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0, 1)$，则$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$。
  3. 因为$\frac{X_i}{\sigma} \sim N(0, 1)$，$i = 1, 2, \cdots, n$且相互独立，所以$\sum_{i=1}^n (\frac{X_i}{\sigma})^2 = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$。