题目

设样本X1,X2,X3,X4,X5来自总体N(0,1),设样本X1,X2,X3,X4,X5来自总体N(0,1),设样本X1,X2,X3,X4,X5来自总体N(0,1),设样本X1,X2,X3,X4,X5来自总体N(0,1),设样本X1,X2,X3,X4,X5来自总体N(0,1),设样本X1,X2,X3,X4,X5来自总体N(0,1),设样本X1,X2,X3,X4,X5来自总体N(0,1),

$设样本X_1,X_2,X_3,X_4,X_5来自总体N（0,1），$ $Y=\frac{C(X_1+X_2)}{(X_1^2+X_4^2+X_2^2)^{\frac{1}{2}}},$ $常数C使Y服从t分布,求常数C。$

$A.\frac{\sqrt{6}}{2}$

$B.\frac{\sqrt{6}}{3}$

$C.\frac{3}{2}$

$D.\frac{2}{3}$

题目解答

答案

$已知X_{1},X_{2}来自总体N(0,1)，$ $根据正态分布的性质，$ $若X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)，X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)，$ $且X_1与X_2相互独立，$ $则X_1+X_2\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)。$ $这里\mu_1=\mu_2=0，\sigma_1=\sigma_2=1，$ $所以X_1+X_2\sim N(0,2)。$ $令Z=X_1+X_2，则\frac{Z}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)。$ $因为X_i\sim N(0,1)，i=3,4,5，$ $根据\chi^2分布的定义，若X_i\sim N(0,1)，$ $则X_i^2\sim\chi^2(1)，且X_3^2,X_4^2,X_5^2相互独立。$ $那么X_3^2+X_4^2+X_5^2\sim\chi^2(3)。$ $由t分布的定义T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}，$ $这里X=\frac{Z}{\sqrt{2}}，$ $Y=X_3^2+X_4^2+X_5^2，n=3。$

$令$

$Y=\frac{C(X_1+X_2)}{(X_3^2+X_4^2+X_5^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{\frac{Z}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{X_3^2+X_4^2+X_5^2}{3}}}，$ $可得C=\frac{\sqrt{6}}{2}。$

$故本题的答案是A选项。$

解析

步骤 1：确定X1+X2的分布
由于X1和X2都是来自总体N(0,1)的样本，根据正态分布的性质，若${X}_{1}\sim N({M}_{1},{{\sigma }_{1}}^{2})$ ,${X}_{2}\sim N({\mu }_{2},{{\sigma }_{2}}^{2})$，且X1与X2相互独立，则${X}_{1}+{X}_{2}\sim N({\mu }_{1}+{\mu }_{2},{{\sigma }_{1}}^{2}+{{\sigma }_{2}}^{2})$。这里 ${\mu }_{1}={\mu }_{2}=0$ ,${\sigma }_{1}={\sigma }_{2}=1$，所以 ${X}_{1}+{X}_{2}\sim N(0,2)$。令$Z={X}_{1}+{X}_{2}$，则 $\dfrac {Z}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$。

步骤 2：确定X4和X5的分布
因为 ${X}_{i}\sim N(0,1)$, $i=4,5$，根据x^2分布的定义，若 ${X}_{i}\sim N(0,1)$，则${{X}_{i}}^{2}\sim {X}^{2}(1)$，且 ${X}_{4}$ 和 ${X}_{5}$ 相互独立。那么 ${{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}\sim {X}^{2}(2)$。

步骤 3：确定Y的分布
由t分布的定义 $T=\dfrac {X}{\sqrt {\dfrac {Y}{n}}}$，这里 $X=\dfrac {z}{\sqrt {2}}$，$Y={{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}$，$n=2$。因此，$Y=\dfrac {C({X}_{1}+{X}_{2})}{{({X}_{4})}^{2}+{{X}_{5}}^{2}}=\dfrac {C\cdot \dfrac {Z}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\dfrac {{{X}_{4}}^{2}+{{X}_{5}}^{2}}{2}}}$。为了使Y服从t分布，我们需要$C\cdot \dfrac {1}{\sqrt {2}}=\sqrt {2}$，从而得到$C=\dfrac {\sqrt {6}}{2}$。