10【判断题】 系统y^primeprime(t)+ty^prime(t)+6y(t)=x^prime(t)是一个时变系统。A. 对B. 错

本题考查时变系统和时不变系统的判断，解题思路是根据时不变系统的定义，判断系统是否满足输入信号时移后，输出信号也相应时移的性质。若不满足，则为 时变系统。

设系统的输入为 $x(t)$，输出为 $y(t)$，系统方程为 $y^{\prime\prime}(t)+ty^{\prime}(t)+6y(t)=x^{\prime}(t)$。

1. 首先，设输入为 $x(t)$ 时，输出为 $y(t)$，满足方程 $y^{\prime\prime}(t)+ty^{\prime}(t)+6y(t)=x^{\prime}(t)$。
2. 然后，考虑输入信号时移 $t_0$，即输入变为 $x(t - t_0)$，设此时的输出为 $y_1(t)$，则 $y_1(t)$ 应满足方程：
   • 对 $y_1(t)$ 求一阶导数 $y_1^{\prime}(t)$ 和二阶导数 $y_1^{\prime\prime}(t)$，将其代入系统方程可得 $y_1^{\prime\prime}(t)+ty_1^{\prime}(t)+6y_1(t)=[x(t - t_0)]^{\prime}$。
3. 接着，判断 $y_1(t)$ 是否等于 $y(t - t_0)$：
   • 若系统是时不变系统，则当输入为 $x(t - t_0)$ 时，输出应该是 $y(t - t_0)$。将 $y(t - t_0)$ 代入系统方程左边：
     • 令 $u=t - t_0$，则 $y(t - t_0)=y(u)$，$y^{\prime}(t - t_0)=y^{\prime}(u)$，$y^{\prime\prime}(t - t_0)=y^{\prime\prime}(u)$。
     • 对 $y(t - t_0)$ 求一阶导数 $y^{\prime}(t - t_0)$ 和二阶导数 $y^{\prime\prime}(t - t_0)$，代入系统方程左边得 $[y(t - t_0)]^{\prime\prime}+t[y(t - t_0)]^{\prime}+6y(t - t_0)=y^{\prime\prime}(u)+(u + t_0)y^{\prime}(u)+6y(u)$。
     • 而输入 $x(t - t_0)$ 时，系统方程右边为 $[x(t - t_0)]^{\prime}$，由于 $y^{\prime\prime}(u)+(u + t_0)y^{\prime}(u)+6y(u)\neq y^{\prime\prime}(u)+uy^{\prime}(u)+6y(u)=[x(u)]^{\prime}=[x(t - t_0)]^{\prime}$（因为多了 $t_0y^{\prime}(u)$ 这一项），即 $y_1(t)\neq y(t - t_0)$。
   • 所以该系统不满足时不变系统的定义，是时变系统。