题目
3.设随机变量Xsim N(2,sigma^2)，已知P(2le Xle 4)=0.4，则P(Xle 0)=____。
3.设随机变量$X\sim N(2,\sigma^{2})$，已知$P(2\le X\le 4)=0.4$，则$P(X\le 0)$=____。
题目解答
答案
要解决这个问题，我们需要利用正态分布的性质。正态分布是一个对称分布，其对称轴是均值。在这个问题中，随机变量 $X$ 服从均值为 2 的正态分布，即 $X \sim N(2, \sigma^2)$。这意味着正态分布的对称轴是 $x = 2$。
已知 $P(2 \le X \le 4) = 0.4$，由于正态分布的对称性，我们可以得出 $P(0 \le X \le 2) = 0.4$。这是因为区间 $[0, 2]$ 关于均值 2 的对称区间是 $[2, 4]$。
接下来，我们需要求 $P(X \le 0)$。由于正态分布的总概率为 1，我们可以将 $P(X \le 0)$ 表示为：
\[ P(X \le 0) = P(X < 2) - P(0 < X \le 2) \]
因为 $X$ 服从均值为 2 的正态分布，所以 $P(X < 2) = 0.5$（正态分布的均值将分布分成两个相等的部分）。因此，我们有：
\[ P(X \le 0) = 0.5 - 0.4 = 0.1 \]
Thus, the answer is:
\[
\boxed{0.1}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的对称性及其应用，以及如何利用已知概率区间推导未知概率。
解题核心思路：
- 正态分布的对称性：正态分布关于均值对称，即$P(\mu - a \le X \le \mu) = P(\mu \le X \le \mu + a)$。
- 总概率分解：利用总概率为1，结合对称区间概率，逐步拆分目标概率。
破题关键点：
- 通过已知区间$[2,4]$的概率，结合对称性得到区间$[0,2]$的概率。
- 将$P(X \le 0)$转化为已知区间的概率差。
步骤1：利用对称性求$P(0 \le X \le 2)$
已知$X \sim N(2, \sigma^2)$，均值$\mu = 2$。根据正态分布的对称性，区间$[2,4]$与$[0,2]$关于$\mu$对称，因此：
$P(0 \le X \le 2) = P(2 \le X \le 4) = 0.4.$
步骤2：计算$P(X \le 2)$
由于$\mu = 2$，正态分布在均值处的概率为：
$P(X \le 2) = 0.5.$
步骤3：求$P(X \le 0)$
将$P(X \le 0)$表示为：
$P(X \le 0) = P(X \le 2) - P(0 < X \le 2).$
代入已知值：
$P(X \le 0) = 0.5 - 0.4 = 0.1.$