题目
五、证明题（共10分）1.设X_(1)，X_(2)，X_(3)是来自正态总体N(mu,sigma^2)的3个样本，证明：hat(mu)_(1)=(1)/(2)X_(1)+(1)/(6)X_(2)+(1)/(3)X_(3)，hat(mu)_(2)=(1)/(4)X_(1)+(1)/(2)X_(2)+(1)/(4)X_(3)是mu的无偏估计，并判断哪一个估计更有效.
五、证明题（共10分）
1.设$X_{1}$，$X_{2}$，$X_{3}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的3个样本，证明：
$\hat{\mu}_{1}=\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{6}X_{2}+\frac{1}{3}X_{3}$，$\hat{\mu}_{2}=\frac{1}{4}X_{1}+\frac{1}{2}X_{2}+\frac{1}{4}X_{3}$是$\mu$的无偏估计，并判断哪一个估计更有效.
题目解答
答案
证明无偏性：
对于 $\hat{\mu}_1 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{1}{3}X_3$，
$E(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{6}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu$
对于 $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{4}X_1 + \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{4}X_3$，
$E(\hat{\mu}_2) = \frac{1}{4}\mu + \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{4}\mu = \mu$
两者均为无偏估计。
比较有效性：
计算方差，
$D(\hat{\mu}_1) = \frac{1}{4}\sigma^2 + \frac{1}{36}\sigma^2 + \frac{1}{9}\sigma^2 = \frac{7}{18}\sigma^2$
$D(\hat{\mu}_2) = \frac{1}{16}\sigma^2 + \frac{1}{4}\sigma^2 + \frac{1}{16}\sigma^2 = \frac{3}{8}\sigma^2$
由于 $D(\hat{\mu}_1) > D(\hat{\mu}_2)$，$\hat{\mu}_2$ 更有效。
结论：
$\hat{\mu}_1$ 和 $\hat{\mu}_2$ 均为 $\mu$ 的无偏估计，且 $\hat{\mu}_2$ 更有效。
$\boxed{\hat{\mu}_2 \text{ 更有效}}$