[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布,问在a= 0.01下能否接受假设:这批矿砂的含镍量的均值为3.25.

本题考查正态总体均值的假设检验，当总体方差未知时，使用t检验法来判断能否接受关于总体均值的假设。解题思路如下：

1. 提出假设：明确原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$，原假设通常是我们想要检验是否成立的假设，备择假设则是原假设的对立情况。
2. 选取检验统计量：根据总体的分布情况和已知条件，选择合适的检验统计量。本题中总体服从正态分布且方差未知，所以选取 $t$ 统计量。
3. 确定拒绝域：根据给定的显著性水平 $\alpha$ 和自由度 \(n - 1\，确定拒绝原假设的范围。 4. **计算样本统计量**：根据样本数据计算样本均值 $\overline{X}$ 和样本标准差 $S$，进而计算出检验统计量 $t$ 的值。
4. 做出决策：将计算得到的检验统计量的值与拒绝域进行比较，若不在拒绝域内，则接受原假设；若在拒绝域内，则拒绝原假设。

下面进行详细的解答：

1. 提出假设：
   设测定值总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\mu,\sigma^2$ 均未知。
   原假设 $H_0:\mu = 3.25$；备择假设 $H_1:\mu\neq 3.25$。
2. 选取检验统计量：
   当 $H_0$ 成立时，检验统计量为 $t=\frac{\overline{X}-3.25}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
3. 确定拒绝域：
   对于双侧检验，在显著性水平 $\alpha = 0.01$ 下，$H_0$ 的拒绝域为 $|t|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$。
   已知 $n = 5$，则自由度 $n - 1 = 4$，查 $t$ 分布表可得 $t_{\frac{0.01}{2}}(4)=t_{0.005}(4)=4.6041$。
4. 计算样本统计量：
   • 计算样本均值 $\overline{X}$：
     $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i=\frac{3.25 + 3.27 + 3.24 + 3.26 + 3.24}{5}=\frac{16.26}{5}=3.252$。
   • 计算样本标准差 $S$：
     $S=\sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}$
     $=\sqrt{\frac{(3.25 - 3.252)^2+(3.27 - 3.252)^2+(3.24 - 3.252)^2+(3.26 - 3.252)^2+(3.24 - 3.252)^2}{5 - 1}}$
     $=\sqrt{\frac{(-0.002)^2+(0.018)^2+(-0.012)^2+(0.008)^2+(-0.012)^2}{4}}$
     $=\sqrt{\frac{0.000004 + 0.000324+0.000144 + 0.000064+0.000144}{4}}$
     $=\sqrt{\frac{0.00068}{4}}=\sqrt{0.00017}\approx0.01304$。
   • 计算检验统计量 $t$ 的值：
     $t=\frac{\overline{X}-3.25}{S/\sqrt{n}}=\frac{3.252 - 3.25}{0.01304/\sqrt{5}}$
     $=\frac{0.002}{0.01304/2.236}\approx\frac{0.002}{0.00583}\approx0.343$。
5. 做出决策：
   因为 $|t| = 0.343