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题目

(1)设X、Y独立同(0,dfrac (1)(2))分布，试求(0,dfrac (1)(2))的方差。(2)设随机向量(0,dfrac (1)(2)) 0 newline 0, 其他 " data-width="365" data-height="59" data-size="6857" data-format="png" style="max-width:100%">若Z=2X+Y 试求DZ。

(1)设X、Y独立同 $N(0,\frac{1}{2})$ 分布，试求 $\mid X-Y\mid$ 的方差。

(2)设随机向量 $(X,Y) \sim f ( x , y ) = \begin{cases} { 2 e ^ { - ( 2 x + y ) } }, x , y > 0 \newline 0, 其他 \end{cases} \$ 若Z=2X+Y 试求DZ。

题目解答

答案

（1）令Z=X-Y，由于X、Y独立同 $N(0,\frac{1}{2})$ 分布

所以Z=X-Y服从标准正态分布N(0,1)

$E(X)=E(Y)=0$

$D(X)=D(Y)=\frac{1}{2}$

随机变量Z的概率密度函数为： $f\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}},-\infty<z<+\infty$

$E\left(\mid Z\mid\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}\mid z\mid f\left(z\right)dz$ $=\int_{-\infty}^{+\infty}\mid z\mid\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$

$=2\int_0^{+\infty}\frac{z}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$

$=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{+\infty}e^{-\frac{z^2}{2}}d\left(-\frac{z^2}{2}\right)$

$=-\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\left(0-1\right)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

$D\left(\mid X-Y\mid\right)$

$=E\left(\mid X-Y\mid\right)^2-\left(E\mid X-Y\mid\right)^2$

$=EX^2-2E\left(XY\right)+EY^2-\left(E\mid X-Y\mid\right)^2$

$=EX^2-\left(EX\right)^2-2E\left(XY\right)+EY^2-\left(EY\right)^2-\left(E\mid X-Y\mid\right)^2$

$=DX+DY-\left(E\mid X-Y\mid\right)^2$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)^2=1-\frac{2}{\pi}$

（2）已知 $f ( x , y ) = \begin{cases} { 2 e ^ { - ( 2 x + y ) } }, x , y > 0 \newline 0, 其他 \end{cases} \$

可以得到X,Y的边缘概率函数 $f_X\left(x\right)$ 和 $f_Y\left(y\right)$

当x≤0时， $f_X\left(x\right)=0$

当x>0时，

$f_X\left(x\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x,y\right)dy$

$=\int_0^{+\infty}2e^{-(2x+y)}dy$

$=2e^{-2x}\int_0^{+\infty}e^{-y}dy=2e^{-2x}$

因此 $f_X\left(x\right)= \begin{cases} 2e^{-2x}, x>0 \newline 0, x \le 0 \end{cases}$

通过概率密度函数可以得知X服从参数为2的指数分布

所以 $EX=\frac{1}{2}$ $DX=\frac{1}{4}$

同理可以得到 $f_Y\left(y\right)= \begin{cases} e^{-y}, y>0 \newline 0, y \le 0 \end{cases}$

通过概率密度函数可以得知Y服从参数为1的指数分布

所以 $EY=1$ $DY=1$

$D\left(Z\right)=D\left(2X+Y\right)$ $=4DX+DY+2Cov\left(2X,Y\right)$ $=4DX+DY+4Cov\left(X,Y\right)$

$=4DX+DY+4\left[E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)\right]$

$=\frac{1}{4}+1-4\left[\frac{1}{2}\times1-\frac{1}{2}\times1\right]=\frac{5}{4}$

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