已知某地1986年120名8岁男童身高均数bar(x)=123.02cm，S=4.79cm，估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；(2)身高界于120cm-128cm者占该地8岁男孩总数的比例；(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围？

我们已知某地1986年120名8岁男童的身高数据：

• 样本均数 $\bar{x} = 123.02\,\text{cm}$
• 样本标准差 $S = 4.79\,\text{cm}$

假设该地8岁男童的身高服从正态分布（这是医学和统计学中常见的合理假设），即 $X \sim N(123.02, 4.79^2)$。

我们将使用标准正态分布（Z分布）来解题，通过标准化公式：

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \approx \frac{X - \bar{x}}{S}$

（1）估计该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比

我们要计算 $P(X > 130)$

步骤：

1. 标准化：
   $Z = \frac{130 - 123.02}{4.79} = \frac{6.98}{4.79} \approx 1.457$

2. 查标准正态分布表，找 $P(Z > 1.457)$

先查 $P(Z < 1.457)$：

• $P(Z < 1.45) \approx 0.9265$
• $P(Z < 1.46) \approx 0.9279$

插值估算 $P(Z < 1.457) \approx 0.9275$

所以：
$P(Z > 1.457) = 1 - 0.9275 = 0.0725$

结论： 身高在130cm以上者约占 7.25%

（2）估计身高界于120cm到128cm者占该地8岁男孩总数的比例

即求 $P(120 < X < 128)$

步骤：

先标准化两个端点：

• 对于 $X = 120$：
  $Z_1 = \frac{120 - 123.02}{4.79} = \frac{-3.02}{4.79} \approx -0.6305$

• 对于 $X = 128$：
  $Z_2 = \frac{128 - 123.02}{4.79} = \frac{4.98}{4.79} \approx 1.0397$

查标准正态分布表：

• $P(Z < -0.6305)$：由于对称，$P(Z < -0.63) \approx 1 - P(Z < 0.63)$

  $P(Z < 0.63) \approx 0.7357$，所以 $P(Z < -0.63) \approx 1 - 0.7357 = 0.2643$

  更精确点，$Z = -0.6305$，可近似为 0.2642

• $P(Z < 1.0397)$：

  $P(Z < 1.04) \approx 0.8508$，所以取 0.851

所以：
$P(120 < X < 128) = P(Z < 1.0397) - P(Z < -0.6305) \approx 0.851 - 0.2642 = 0.5868$

结论： 身高在120cm到128cm之间的比例约为 58.68%

（3）该地80%男孩身高集中在哪个范围？（即求中间80%的区间）

我们要找一个以均数为中心的区间，使得中间包含80%的个体。

即：找 $P(a < X < b) = 0.80$，且两侧各占10%（对称）

所以，对应的标准正态分布中，要找 $Z_{\alpha/2}$，使得：

$P(-z < Z < z) = 0.80 \Rightarrow P(Z < z) = 0.90$

查标准正态分布表，找累积概率为0.90的Z值：

• $P(Z < 1.28) \approx 0.8997$
• $P(Z < 1.29) \approx 0.9015$

插值得：$z \approx 1.282$

所以：

$X = \mu \pm z \cdot \sigma = 123.02 \pm 1.282 \times 4.79$

计算：

$1.282 \times 4.79 \approx 6.14$

所以区间为：

$123.02 - 6.14 = 116.88\,\text{cm}$
$123.02 + 6.14 = 129.16\,\text{cm}$

结论： 80%的男孩身高集中在 116.88 cm 到 129.16 cm 之间

最终答案：

（1）身高在130cm以上者约占 7.25%
（2）身高在120cm到128cm之间者约占 58.68%
（3）80%的男孩身高集中在 116.88 cm ~ 129.16 cm 的范围内

$\boxed{ \begin{aligned}&\text{(1) } 7.25\% \\&\text{(2) } 58.68\% \\&\text{(3) } 116.88\,\text{cm} \sim 129.16\,\text{cm}\end{aligned} }$