设y=1+xe^y,则y^primeprime=____.A. (e^y(3-y))/((2-y)^2)B. (e^2y(3-y))/((2-y)^3)C. (e^y(3-y))/(2-y)D. (e^2y(3-y))/(2-y)

本题考查隐函数求导，解题思路是先对给定的隐函数求一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数。

步骤一：求一阶导数 $y'$

已知$y = 1 + xe^y$，等式两边同时对$x$求导。
根据求导的加法法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，可得$y^\prime=(1)^\prime+(xe^y)^\prime$。
因为常数的导数为$0$，所以$(1)^\prime = 0$。
对于$(xe^y)^\prime$，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = x$，$v = e^y$，则$u^\prime=(x)^\prime = 1$，$v^\prime=(e^y)^\prime=e^y\cdot y^\prime$（这里使用了复合函数求导法则）。
所以$(xe^y)^\prime=1\times e^y + x\times e^y\cdot y^\prime=e^y + xe^y\cdot y^\prime$。
则$y^\prime=0 + e^y + xe^y\cdot y^\prime$，移项可得$y^\prime - xe^y\cdot y^\prime = e^y$，提取公因式$y^\prime$得$y^\prime(1 - xe^y) = e^y$，那么$y^\prime=\frac{e^y}{1 - xe^y}$。
由$y = 1 + xe^y$可得$xe^y=y - 1$，将其代入$y^\prime$的表达式中，得到$y^\prime=\frac{e^y}{1-(y - 1)}=\frac{e^y}{2 - y}$。

步骤二：求二阶导数 $y''$

根据除法求导法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对于$y^\prime=\frac{e^y}{2 - y}$，其中$u = e^y$，$v = 2 - y$。
则$u^\prime=(e^y)^\prime=e^y\cdot y^\prime$，$v^\prime=(2 - y)^\prime=-y^\prime$。
所以$y''=\frac{(e^y\cdot y^\prime)(2 - y) - e^y\times(-y^\prime)}{(2 - y)^2}=\frac{e^y\cdot y^\prime(2 - y + 1)}{(2 - y)^2}=\frac{e^y\cdot y^\prime(3 - y)}{(2 - y)^2}$。
将$y^\prime=\frac{e^y}{2 - y}$代入上式，可得$y''=\frac{e^y\times\frac{e^y}{2 - y}\times(3 - y)}{(2 - y)^2}=\frac{e^{2y}(3 - y)}{(2 - y)^3}$。