题目

(6)设A,B,C均为3阶矩阵，A^*,B^*分别为A,B的伴随矩阵，|A|=2,|B|=3，P=}C&AB&O=（）.(A)P=}A^*CB^*&3A^*2B^*&O(C)P=}O&-2B^*-3A^*&-A^*CB^*

(6)设A,B,C均为3阶矩阵，$A^{*},B^{*}$分别为A,B的伴随矩阵，|A|=2,|B|=3，$P=\begin{bmatrix}C&A\\B&O\end{bmatrix}$，则$P^{*}=$（）. (A)$P=\begin{bmatrix}A^{*}CB^{*}&3A^{*}\\2B^{*}&O\end{bmatrix}$ (B)$P=\begin{bmatrix}-A^{*}CB^{*}&3A^{*}\\2B^{*}&O\end{bmatrix}$ (C)$P=\begin{bmatrix}O&-2B^{*}\\-3A^{*}&-A^{*}CB^{*}\end{bmatrix}$ (D)$P=\begin{bmatrix}O&-2B^{*}\\-3A^{*}&A^{*}CB^{*}\end{bmatrix}$

题目解答

答案

设 $P = \begin{bmatrix} C & A \\ B & O \end{bmatrix}$，其中 $A, B, C$ 均为 3 阶矩阵，且 $|A| = 2$，$|B| = 3$。
由分块矩阵的行列式公式，得 $|P| = |A||B| = 6$。
利用伴随矩阵性质 $P P^* = |P|I$，其中 $I$ 为 6 阶单位矩阵，设 $P^* = \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix}$，则：
$\begin{bmatrix} C & A \\ B & O \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix} = 6I$
通过比较块矩阵，得到：

  1. $CX + AZ = 6I$，
  2. $CY + AW = O$，
  3. $BX = O$，
  4. $BY = 6I$。
    由 $B$ 可逆，解得 $X = O$，$Y = 2B^*$，$Z = 3A^*$，$W = -A^*CB^*$。
    因此，$P^* = \begin{bmatrix} O & -2B^* \\ -3A^* & -A^*CB^* \end{bmatrix}$，对应选项 (C)。

答案： $\boxed{C}$