题目

随机变量(X,Y)的联合分布律如下表1.1X⊥Y 1 2 3-|||-dfrac (1)(27)-|||-dfrac (5)(27)-|||-dfrac (7)(27)-|||-dfrac (1)(27)-|||-dfrac (2)(27)-|||-dfrac (2)(27)-|||-dfrac (8)(27)-|||-dfrac (13)(27)-|||-dfrac (6)(27)表1.1试求E(X|Y)的分布律，EX及E(E(X|Y)).

随机变量(X,Y)的联合分布律如下表1.1

$\begin{array}{c|ccc|c} \hline X\setminus Y &1 &2 &3 &p_i\\ \hline 1 &\frac{2}{27} &\frac{4}{27} &\frac{1}{27} &\frac{7}{27}\\ 2 &\frac{5}{27} &\frac{7}{27} &\frac{3}{27} &\frac{15}{27}\\ 3 &\frac{1}{27} &\frac{2}{27} &\frac{2}{27} &\frac{5}{27}\\ \hline p_i &\frac{8}{27}& \frac{13}{27} &\frac{6}{27}&\\ \hline \end{array}$

表1.1

试求E(X|Y)的分布律，EX及E(E(X|Y)).

题目解答

答案

首先，我们要求出条件期望 E(X|Y) 的分布律。它的定义如下：

$E(X|Y=y)=\sum_i^{ }x_i\cdot P(X=x_i|Y=y)$

其中， $x_i$ 是随机变量 X 可能取到的值， $P(X=x_i|Y=y)$ 是在给定 Y=y 的条件下，X 取到 $x_i$ 的概率。

对于每一个固定的 y，我们可以利用条件分布表格求得：

当 Y=1 时：

$E(X|Y=1)=1\cdot\frac{2}{8}+2\cdot\frac{5}{15}+3\cdot\frac{1}{5}=\frac{41}{15}$

当 Y=2 时：

$E(X|Y=2)=1\cdot\frac{4}{13}+2\cdot\frac{7}{13}+3\cdot\frac{2}{13}=\frac{31}{13}$

当 Y=3 时：

$E(X|Y=3)=1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{3}{6}+3\cdot\frac{2}{6}=2$

接下来，我们求 E(X|Y) 的分布律：

$\begin{align*} P(E(X|Y) = \frac{41}{15}) &= P(Y=1) = \frac{8}{27} \\ P(E(X|Y) = \frac{31}{13}) &= P(Y=2) = \frac{13}{27} \\ P(E(X|Y) = 2) &= P(Y=3) = \frac{6}{27} \\ \end{align*}$

然后，我们求 E(X)：

$E(X)=\sum_x^{ }x\cdot P(X=x)=1\cdot\frac{8}{27}+2\cdot\frac{15}{27}+3\cdot\frac{4}{27}=\frac{65}{27}$

最后，求 E(E(X|Y))：

$E(E(X|Y))=\sum_y^{ }E(X|Y=y)\cdot P(Y=y)$

$=\frac{41}{15}\cdot\frac{8}{27}+\frac{31}{13}\cdot\frac{13}{27}+2\cdot\frac{6}{27}=\frac{683}{405}$

答案：

$E(X|Y)\text{的分布律为}\left(\frac{41}{15},\frac{31}{13},2\right)$

$E(X)=\frac{65}{27}$

$E(E(X|Y))=\frac{683}{405}$

解析