例2 已知 sim N(2,4) ,Y服从参数为3的指数分布,-|||-X,Y相互独立, U=3X-6Y+9 ,=xY+2X-3Y-|||-求 E(U),E(V).

考查要点：本题主要考查期望值的线性性质以及独立随机变量乘积的期望计算。

解题思路：

1. 利用期望的线性性：对于线性组合$U = aX + bY + c$，直接计算$E(U) = aE(X) + bE(Y) + c$。
2. 独立变量的乘积期望：若$X$与$Y$独立，则$E(XY) = E(X)E(Y)$，用于计算非线性组合$V$的期望。

关键点：

• 正态分布$X \sim N(2,4)$的均值$E(X) = 2$。
• 指数分布$Y$的参数为3，均值$E(Y) = \frac{1}{3}$。
• 独立性保证$E(XY) = E(X)E(Y)$。

计算$E(U)$

1. 展开表达式：
   $U = 3X - 6Y + 9$
2. 应用期望线性性：
   $E(U) = 3E(X) - 6E(Y) + 9$
3. 代入已知均值：
   $E(X) = 2, \quad E(Y) = \frac{1}{3}$
4. 计算：
   $E(U) = 3 \times 2 - 6 \times \frac{1}{3} + 9 = 6 - 2 + 9 = 13$

计算$E(V)$

1. 展开表达式：
   $V = XY + 2X - 3Y$
2. 拆分期望：
   $E(V) = E(XY) + 2E(X) - 3E(Y)$
3. 利用独立性：
   $E(XY) = E(X)E(Y) = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
4. 代入已知均值：
   $E(V) = \frac{2}{3} + 2 \times 2 - 3 \times \frac{1}{3}$
5. 计算：
   $E(V) = \frac{2}{3} + 4 - 1 = \frac{2}{3} + 3 = \frac{11}{3}$