题目
设 X_1, X_2, dotsc, X_n 是从正态总体 N(mu, sigma^2)中抽取的样本，为使 D = k sum_(i=1)^n-1 (X_(i+1) - X_i)^2是总体方差 sigma^2的无偏估计，则 k = ()。 A. 1 / nB. 1 / (n-1)C. 1 / 2(n-1)D. 1 / 2n
$$ 设 $X\_1, X\_2, \dotsc, X\_n $是从正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$中抽取的样本，为使 $D = k \sum_{i=1}^{n-1}\ \ (X_{i+1}\ \ - X\_i)^2$是总体方差 $\sigma^2$的无偏估计，则 $k = $()。 $$
A. 1 / n
B. 1 / (n-1)
C. 1 / 2(n-1)
D. 1 / 2n
题目解答
答案
C. 1 / 2(n-1)
解析
步骤 1：理解无偏估计的定义
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即 $E(D) = \sigma^2$。
步骤 2：计算 $D$ 的期望值
$D = k \sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2$，其中 $X_i$ 是从正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 中抽取的样本。由于 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 都是正态分布，它们的差 $X_{i+1} - X_i$ 也是正态分布，且方差为 $2\sigma^2$。因此，$(X_{i+1} - X_i)^2$ 的期望值为 $2\sigma^2$。
步骤 3：计算 $D$ 的期望值
$E(D) = k \sum_{i=1}^{n-1} E((X_{i+1} - X_i)^2) = k \sum_{i=1}^{n-1} 2\sigma^2 = k \cdot 2\sigma^2 \cdot (n-1)$。
步骤 4：使 $D$ 成为无偏估计
要使 $D$ 成为无偏估计，即 $E(D) = \sigma^2$，则有 $k \cdot 2\sigma^2 \cdot (n-1) = \sigma^2$。解得 $k = \frac{1}{2(n-1)}$。
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即 $E(D) = \sigma^2$。
步骤 2：计算 $D$ 的期望值
$D = k \sum_{i=1}^{n-1} (X_{i+1} - X_i)^2$，其中 $X_i$ 是从正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 中抽取的样本。由于 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 都是正态分布，它们的差 $X_{i+1} - X_i$ 也是正态分布，且方差为 $2\sigma^2$。因此，$(X_{i+1} - X_i)^2$ 的期望值为 $2\sigma^2$。
步骤 3：计算 $D$ 的期望值
$E(D) = k \sum_{i=1}^{n-1} E((X_{i+1} - X_i)^2) = k \sum_{i=1}^{n-1} 2\sigma^2 = k \cdot 2\sigma^2 \cdot (n-1)$。
步骤 4：使 $D$ 成为无偏估计
要使 $D$ 成为无偏估计，即 $E(D) = \sigma^2$，则有 $k \cdot 2\sigma^2 \cdot (n-1) = \sigma^2$。解得 $k = \frac{1}{2(n-1)}$。