题目
12(3分)设X1 X2,X3,X4是未自N (0,1)的样本, =(({x)_(1)+(x)_(2))}^2+(({x)_(3)+(x)_(4))}^2, 当 c=() () 时,cY服从x^2-|||-A.1 B. dfrac (1)(6)-|||-C. dfrac (1)(2) D. dfrac (1)(3)
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义新的随机变量
定义新的随机变量 $Y_1 = X_1 + X_2$ 和 $Y_2 = X_3 + X_4$。由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自 $N(0,1)$ 的样本，所以 $Y_1$ 和 $Y_2$ 也是正态分布的随机变量，且 $E(Y_1) = E(Y_2) = 0$，$D(Y_1) = D(Y_2) = 2$。
步骤 2：计算 $Y_1^2$ 和 $Y_2^2$ 的分布
由于 $Y_1$ 和 $Y_2$ 是正态分布的随机变量，所以 $\frac{Y_1^2}{2}$ 和 $\frac{Y_2^2}{2}$ 都服从 $\chi^2(1)$ 分布，即 $\frac{Y_1^2}{2} \sim \chi^2(1)$ 和 $\frac{Y_2^2}{2} \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：计算 $Y$ 的分布
由于 $Y = Y_1^2 + Y_2^2$，所以 $\frac{1}{2}(Y_1^2 + Y_2^2) \sim \chi^2(2)$。因此，$cY$ 服从 $\chi^2$ 分布的条件是 $c = \frac{1}{2}$。
定义新的随机变量 $Y_1 = X_1 + X_2$ 和 $Y_2 = X_3 + X_4$。由于 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自 $N(0,1)$ 的样本，所以 $Y_1$ 和 $Y_2$ 也是正态分布的随机变量，且 $E(Y_1) = E(Y_2) = 0$，$D(Y_1) = D(Y_2) = 2$。
步骤 2：计算 $Y_1^2$ 和 $Y_2^2$ 的分布
由于 $Y_1$ 和 $Y_2$ 是正态分布的随机变量，所以 $\frac{Y_1^2}{2}$ 和 $\frac{Y_2^2}{2}$ 都服从 $\chi^2(1)$ 分布，即 $\frac{Y_1^2}{2} \sim \chi^2(1)$ 和 $\frac{Y_2^2}{2} \sim \chi^2(1)$。
步骤 3：计算 $Y$ 的分布
由于 $Y = Y_1^2 + Y_2^2$，所以 $\frac{1}{2}(Y_1^2 + Y_2^2) \sim \chi^2(2)$。因此，$cY$ 服从 $\chi^2$ 分布的条件是 $c = \frac{1}{2}$。