设X1,X2,···, _(n)(ngt 2) 为来自总体N(0,1)的简单随机样-|||-本,X为样本均值,记 overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), 记 _(i)=(X)_(i)-overline (X) ,i=1, 2 ,.,-|||-n.求:-|||-(1)Y1的方差D(Y ), i=1, 2,···,n;-|||-(2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

题目考察知识

本题主要考察正态分布样本的数字特征，包括方差和协方差的计算，涉及样本均值的性质、随机变量方差与协方差的运算性质（如独立性、线性组合的方差/协方差展开等）。

（1）求$D(Y_i)$的解题思路

关键性质

• 总体$X_i \sim N(0,1)$，故$E(X_i)=0$，$D(X_i)=1$，且所有$X_i$相互独立。
• 样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，则$E(\overline{X})=0$，$D(\overline{X})=\frac{1}{n}$（因独立变量和的方差等于方差的和）。

计算过程

$Y_i = X_i - \overline{X}$，将$\overline{X}$代入得：
$Y_i = X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j = \left(1 - \frac{1}{n}\right)X_i - \frac{1}{n}\sum_{j \neq i} X_j$
由于$X_i$与$X_j(j \neq i)$独立，方差运算可展开为：
$D(Y_i) = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^2 D(X_i) + \sum_{j \neq i} \left(\frac{1}{n}\right)^2 D(X_j)$
代入$D(X_i)=1$，共$n-1$项$j \neq i$：
$D(Y_i) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2 \cdot 1 + (n-1) \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 \cdot 1 = \frac{(n-1)^2 + (n-1)}{n^2} = \frac{n-1}{n}$

（2）求$\text{Cov}(Y_1,Y_n)$的解题思路

关键性质

• 协方差定义：$\text{Cov}(A,B)=E(AB)-E(A)E(B)$，因$E(Y_1)=E(Y_n)=0$，故$\text{Cov}(Y_1,Y_n)=E(Y_1Y_n)$。
• 独立变量的协方差为0（如$X_1$与$X_n$独立，$\text{Cov}(X_1,X_n)=0$）。

计算过程

$Y_1Y_n = (X_1 - \overline{X})(X_n - \overline{X}) = X_1X_n - X_1\overline{X} - X_n\overline{X} + \overline{X}^2$
取期望得：
$E(Y_1Y_n) = E(X_1X_n) - E(X_1\overline{X}) - E(X_n\overline{X}) + E(\overline{X}^2)$

• $E(X_1X_n)=E(X_1)E(X_n)=0$（独立性）；
• $E(X_1\overline{X}) = E\left(X_1 \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\left[E(X_1^2) + \sum_{i=2}^n E(X_1X_i)\right] = \frac{1}{n}(1 + 0) = \frac{1}{n}$（仅$i=1$时$X_1X_1=X_1^2$，方差$D(X_1)=E(X_1^2)-[E(X_1)]^2=1$）；
• 同理$E(X_n\overline{X})=\frac{1}{n}$；
• $E(\overline{X}^2)=D(\overline{X}) + [E(\overline{X})]^2 = \frac{1}{n} + 0 = \frac{1}{n}$。

代入得：
$E(Y_1Y_n) = 0 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = -\frac{1}{n}$