oint_(C) (e^z)/(z(z-2)) dz. 试就下列不同情形, 写出此积分的值:(1) C 为正向圆周 |z|=1,(2) C 为正向圆周 |z-2|=1/2,(3) C 为正向圆周 |z|=3.

考查要点：本题主要考查复变函数中的留数定理应用，涉及不同积分路径下奇点的判断及留数的计算。

解题核心思路：

1. 确定积分路径内的奇点：分析每个路径是否包围函数$f(z)=\frac{e^z}{z(z-2)}$的奇点$z=0$和$z=2$。
2. 计算留数：对路径内的奇点，利用简单极点的留数公式计算$\text{Res}(f, z_0)$。
3. 应用留数定理：积分值为$2\pi i$乘以路径内所有奇点的留数之和。

破题关键点：

• 奇点位置判断：根据路径方程判断奇点是否在积分路径内。
• 留数公式应用：对简单极点，直接用$\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)$计算。

第（1）题：$C: |z|=1$

1. 奇点位置：
   • $z=0$在圆内（$|0|=0 < 1$）。
   • $z=2$在圆外（$|2|=2 > 1$）。
2. 计算留数：
   在$z=0$处，$\text{Res}\left(f, 0\right) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{e^z}{z(z-2)} = \frac{e^0}{-2} = -\frac{1}{2}$。
3. 积分值：
   $2\pi i \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\pi i$。

第（2）题：$C: |z-2|=\frac{1}{2}$

1. 奇点位置：
   • $z=2$在圆内（$|2-2|=0 < \frac{1}{2}$）。
   • $z=0$在圆外（$|0-2|=2 > \frac{1}{2}$）。
2. 计算留数：
   在$z=2$处，$\text{Res}\left(f, 2\right) = \lim_{z \to 2} (z-2) \cdot \frac{e^z}{z(z-2)} = \frac{e^2}{2}$。
3. 积分值：
   $2\pi i \cdot \frac{e^2}{2} = \pi i e^2$。

第（3）题：$C: |z|=3$

1. 奇点位置：
   • $z=0$和$z=2$均在圆内（$|0|=0 < 3$，$|2|=2 < 3$）。
2. 计算留数和：
   • $\text{Res}\left(f, 0\right) = -\frac{1}{2}$（同第（1）题）。
   • $\text{Res}\left(f, 2\right) = \frac{e^2}{2}$（同第（2）题）。
   • 留数和为$-\frac{1}{2} + \frac{e^2}{2} = \frac{e^2 - 1}{2}$。
3. 积分值：
   $2\pi i \cdot \frac{e^2 - 1}{2} = \pi i (e^2 - 1)$。