题目

A-|||-频率-|||-组距-|||-0.034-|||-0.018-|||-0.016-|||-0.012-|||-0.008-|||-0.006-|||-0 30 40 50 60 70 80 90 100 竞赛成绩/分某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．（1）求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；（2）从竞赛成绩在（40，50]，（50，60]的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在（40，50]的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）以样本的频率估计概率，从[30，50]随机抽取20名学生，用P（k）表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在[30，40]内的概率，其中k=0，1，2，…，20．当P（k）最大时，求k．

菁优网某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．
（1）求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；
（2）从竞赛成绩在（40，50]，（50，60]的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在（40，50]的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）以样本的频率估计概率，从[30，50]随机抽取20名学生，用P（k）表示这20名学生中恰有k名学生竞赛成绩在[30，40]内的概率，其中k=0，1，2，…，20．当P（k）最大时，求k．

题目解答

答案

解：（1）由直方图可知成绩在[30，40]，（40，50]，（50，60]，（60，70]的频率和为0.06+0.12+0.18+0.34=0.7，
而成绩在（70，80]的频率为0.16，则抽取的100名学生成绩的第80百分位数在（70，80]内，
设第80百分位数为x，则（x-70）×0.016=0.1，解得x=76.25，
所以第80百分位数为76.25；
（2）由频率分布直方图可得：竞赛成绩在（40，50]，（50，60]两组的频率之比为0.12：0.18=2：3，
则10人中竞赛成绩在（40，50]的人数为$10×\frac{4}{10}=4$人；在（50，60]的人数为$10×\frac{6}{10}=6$人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
于是$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_{10}^3}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}，P（X=1）=\frac{C_6^2C_4^1}{C_{10}^3}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^1C_4^2}{C_{10}^3}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}，P（X=4）=\frac{C_4^3}{C_{10}^3}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$，
所以X的分布列为：
 X  0  1  2  3
 P  $\frac{1}{6}$  $\frac{1}{2}$  $\frac{3}{10}$  $\frac{1}{30}$
数学期望为$E（X）=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=\frac{6}{5}$；
（3）用频率估计概率，竞赛成绩在[30，40]内的概率$p=\frac{0.06}{0.06+0.12}=\frac{1}{3}$，
则$P（k）=C_{20}^kp^k（1-p）^{20-k}=C_{20}^k×（\frac{1}{3}）^k×（\frac{2}{3}）^{20-k}=\frac{C_{20}^k2^{20-k}}{3^{20}}$，
$\frac{P（k+1）}{P（k）}=\frac{\frac{C_{20}^{k+1}2^{19-k}}{3^{20}}}{\frac{C_{20}^k2^{20-k}}{3^{20}}}=\frac{1}{2}×\frac{\frac{20!}{（k+1）!（19-k）!}}{\frac{20!}{k!（20-k）!}}=\frac{1}{2}×\frac{20-k}{k+1}=\frac{1}{2}（-1+\frac{21}{k+1}）$．
令$\frac{P（k+1）}{P（k）}=\frac{1}{2}（-1+\frac{21}{k+1}）≥1$，解得k≤6，当且仅当k=6时取等号，即P（6）=P（7），
当k＜6，k∈N时，P（k+1）＞P（k），当k＞6，k∈N，k≤20时，P（k+1）＜P（k），
所以当k=6或k=7，P（k）最大．

解析

核心思路：本题综合考查频率分布直方图的应用、分层抽样与超几何分布、二项分布最值问题。

  1. 第80百分位数：需确定累积频率超过80%的区间，利用线性插值计算具体值；
  2. 分布列与期望：分层抽样确定比例，超几何分布计算概率；
  3. 二项分布最值：通过比值法比较相邻概率，找到最大值点。

关键点：

  • 百分位数：累积频率达80%的区间为（70，80]；
  • 分层抽样：按比例分配样本量；
  • 超几何分布：组合数计算概率；
  • 二项分布最值：比较$\frac{P(k+1)}{P(k)}$的比值判断增减趋势。

第（1）题

步骤1：计算累积频率

  • [30，40]：$0.06$
  • （40，50]：$0.12$，累积$0.18$
  • （50，60]：$0.18$，累积$0.36$
  • （60，70]：$0.34$，累积$0.70$
  • （70，80]：$0.16$，累积$0.86$

步骤2：确定区间
累积频率$0.7 < 80\% \leq 0.86$，故第80百分位数在（70，80]。

步骤3：线性插值
设第80百分位数为$x$，满足：
$(x-70) \times 0.016 = 0.1 \quad \Rightarrow \quad x = 76.25$

第（2）题

步骤1：分层抽样比例

  • （40，50]频率$0.12$，（50，60]频率$0.18$，比例$2:3$
  • 抽取人数：$10 \times \frac{2}{5}=4$人，$10 \times \frac{3}{5}=6$人

步骤2：超几何分布

  • 总体：4人（40，50]，6人（50，60]
  • $X$可能取值为$0,1,2,3$

步骤3：计算概率
$\begin{aligned}P(X=0) &= \frac{C_6^3}{C_{10}^3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \\P(X=1) &= \frac{C_6^2 C_4^1}{C_{10}^3} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \\P(X=2) &= \frac{C_6^1 C_4^2}{C_{10}^3} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \\P(X=3) &= \frac{C_4^3}{C_{10}^3} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}\end{aligned}$

步骤4：数学期望
$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{30} = \frac{6}{5}$

第（3）题

步骤1：计算概率$p$

  • [30，40]频率$p = \frac{0.06}{0.06+0.12} = \frac{1}{3}$

步骤2：二项分布概率比值
$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{20 - k}{k + 1}$

步骤3：判断增减趋势

  • 当$\frac{20 - k}{k + 1} \geq 2$时，$P(k+1) \geq P(k)$
  • 解得$k \leq 6$，当$k=6$时$P(6)=P(7)$

结论：$k=6$或$k=7$时，$P(k)$最大。