题目
填空题（共10题，30.0分）4.（3.0分）设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体N(mu,sigma^2)的样本，overline(X)，S^2分别为样本均值和方差，则(overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))sim____.
填空题（共10题，30.0分）
4.（3.0分）设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\overline{X}$，$S^{2}$分别为样本均值和方差，则$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim$____.
题目解答
答案
为了确定统计量$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$的分布，我们需要理解样本均值$\overline{X}$，总体均值$\mu$，样本标准差$S$，以及样本大小$n$之间的关系。
1. **识别样本均值和样本方差的分布：**
- 样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
- 样本方差$S^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计，且$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$服从自由度为$n-1$的卡方分布。
2. **标准化样本均值：**
- 标准化样本均值$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$服从标准正态分布$N(0, 1)$。
3. **将样本标准差代入标准化公式：**
- 当我们用样本标准差$S$代替总体标准差$\sigma$时，统计量$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$不再服从标准正态分布。相反，它服从自由度为$n-1$的t分布。
4. **结论：**
- 统计量$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$服从自由度为$n-1$的t分布。
因此，答案是$\boxed{t(n-1)}$。
解析
本题本题考察的是统计学t分布的知识点，具体是t分布的定义和应用。要确定统计量$\frac{\overline{X} - \mu}{SS / \sqrt{n}}$的分布，需按以下步骤分析：
步骤1：样本均值与样本方差的性质
- 样本均值$\overline{X}$：来自正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的样本均值$\overline{X}$服从N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right))。
- 样本方差$S^2$：样本方差$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，其无偏估计满足$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$（自由度为$n-1$的卡方分布）。
步骤2：标准化与t分布的定义
- 标准正态变量：$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$（标准正态分布）。
- 用$S$代替$\sigma$：由于$S$是$\sigma$的估计量，统计量$\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$的结构为：
$t = \frac{\text{标准正态变量}}{\sqrt{\frac{\chi^2(n-1)}{n-1}}}$
根据t分布的定义，该统计量服从自由度为$n-1$的t分布。