题目

4.单选题(4分)已知向量a_(1),a_(2),a_(3),a_(4),a_(5)，且有r(a_(1),a_(2),a_(3),a_(4))=3，r(a_(1),a_(2),a_(3),a_(5))=4，则r(a_(1),a_(2),a_(3),a_(4),a_(5))=()A. 2B. 4C. 1D. 3

4.单选题(4分) 已知向量$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$，且有$r(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})=3$，$r(a_{1},a_{2},a_{3},a_{5})=4$，则$r(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})=()$

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

题目解答

答案

B. 4

解析

考查要点：本题主要考查向量组的秩的性质，特别是向量组扩展后秩的变化规律。

解题核心思路：

  1. 秩的定义：向量组的秩是极大线性无关组中向量的个数。
  2. 关键性质：
    • 若向量组 $A$ 的秩为 $r$，则添加一个向量后，新向量组的秩可能保持 $r$ 或增加 $1$。
    • 若两个向量组的秩分别为 $r_1$ 和 $r_2$，则合并后的向量组的秩不超过 $r_1 + r_2$。
  3. 破题关键：
    • 由 $r(a_1, a_2, a_3, a_4) = 3$ 可知，$a_4$ 可被 $a_1, a_2, a_3$ 线性表示。
    • 由 $r(a_1, a_2, a_3, a_5) = 4$ 可知，$a_1, a_2, a_3, a_5$ 线性无关。
    • 合并所有向量后，极大线性无关组由 $a_1, a_2, a_3, a_5$ 构成，故秩为 $4$。

  1. 分析已知条件：

    • $r(a_1, a_2, a_3, a_4) = 3$：说明 $a_1, a_2, a_3$ 是极大线性无关组，$a_4$ 可被它们线性表示。
    • $r(a_1, a_2, a_3, a_5) = 4$：说明 $a_1, a_2, a_3, a_5$ 线性无关，不存在冗余向量。

  2. 合并所有向量后的秩：

    • 原向量组 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 的秩为 $3$，添加 $a_5$ 后，若 $a_5$ 无法被原向量组线性表示，则秩增加 $1$。
    • 但根据 $r(a_1, a_2, a_3, a_5) = 4$，$a_5$ 已与 $a_1, a_2, a_3$ 构成 $4$ 个线性无关的向量。
    • $a_4$ 可被 $a_1, a_2, a_3$ 表示，因此对整体秩无影响。
    • 最终，极大线性无关组为 $a_1, a_2, a_3, a_5$，故秩为 $4$。