题目

阅读材料：在平面直角坐标系中，若点M（x，y）与定点F（c，0）（或F'（-c，0）的距离和它到定直线l：x=(({a^2)})/(c)（或l'：x=-(({a^2)})/(c)）的距离之比是常数(c)/(a)（0＜c＜a），则((sqrt({{（x-c）)^2)+(y^2)}})/((frac{{{a^2))}(c)-x}}=(c)/(a)，化简可得(({x^2)})/(({a^2))}+(({y^2)})/(({a^2)-{c^2)}}=1，设b2=a2-c2（b＞0），则得到方程(({x^2)})/(({a^2))}+(({y^2)})/(({b^2))}=1（a＞b＞0），所以点M的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定义．这里定点F（c，0）是椭圆的一个焦点，直线l：x=(({a^2)})/(c)称为相应于焦点F的准线；定点F'（-c，0）是椭圆的另一个焦点，直线l'：x=-(({a^2)})/(c)称为相应于焦点F'的准线．根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离．若点M（x，y）在椭圆(({x^2)})/(({a^2))}+(({y^2)})/(({b^2))}=1（a＞b＞0）上，F（c，0）是椭圆的右焦点，椭圆的离心率e=(c)/(a)，则点M（x，y）到准线l：x=(({a^2)})/(c)的距离为(({a^2)})/(c)-x，所以|MF|=(c)/(a)×（(({{a^2)})/(c)-x}）=a-(c)/(a)x=a-ex，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式．结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆C：(({x^2)})/(({a^2))}+(({y^2)})/(({b^2))}=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点P是该椭圆上第一象限的点，且PF⊥x轴，若直线l：x=9是椭圆右准线方程，点P到直线l的距离为8．（1）求点P的坐标；（2）若点M，N也在椭圆C上且△MNP的重心为F，判断|FM|，|FP|，|FN|是否能构成等差数列？如果能，求出该等差数列的公差，如果不能，说明理由．

阅读材料：
在平面直角坐标系中，若点M（x，y）与定点F（c，0）（或F'（-c，0）的距离和它到定直线l：x=$\frac{{{a^2}}}{c}$（或l'：x=-$\frac{{{a^2}}}{c}$）的距离之比是常数$\frac{c}{a}$（0＜c＜a），则$\frac{{\sqrt{{{（x-c）}^2}+{y^2}}}}{{\frac{{{a^2}}}{c}-x}}=\frac{c}{a}$，化简可得$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}+\frac{{{y^2}}}{{{a^2}-{c^2}}}$=1，设b2=a2-c2（b＞0），则得到方程$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}+\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$=1（a＞b＞0），所以点M的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定义．这里定点F（c，0）是椭圆的一个焦点，直线l：x=$\frac{{{a^2}}}{c}$称为相应于焦点F的准线；定点F'（-c，0）是椭圆的另一个焦点，直线l'：x=-$\frac{{{a^2}}}{c}$称为相应于焦点F'的准线．
根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离．若点M（x，y）在椭圆$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}+\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$=1（a＞b＞0）上，F（c，0）是椭圆的右焦点，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，则点M（x，y）到准线l：x=$\frac{{{a^2}}}{c}$的距离为$\frac{{{a^2}}}{c}$-x，所以|MF|=$\frac{c}{a}×（{\frac{{{a^2}}}{c}-x}）=a-\frac{c}{a}$x=a-ex，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式．
结合阅读材料回答下面的问题：
已知椭圆C：$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}+\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点P是该椭圆上第一象限的点，且PF⊥x轴，若直线l：x=9是椭圆右准线方程，点P到直线l的距离为8．
（1）求点P的坐标；
（2）若点M，N也在椭圆C上且△MNP的重心为F，判断|FM|，|FP|，|FN|是否能构成等差数列？如果能，求出该等差数列的公差，如果不能，说明理由．

题目解答

答案

解：（1）由题意设P（c，y0），且y0＞0，则9-c=8，可得c=1，x=9=$\frac{{a}^{2}}{c}$为右准线，可得a2=9，
所以b2=a2-c2=9-1=8，
所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
将x=1代入椭圆的方程可得${y}_{0}^{2}$=8（1-$\frac{1}{9}$），可得y0=$\frac{8}{3}$，
即P（1，$\frac{8}{3}$）；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
因为△MNP的重心为F，则$\frac{1+{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$=1，可得x1+x2=2，y1+y2=-$\frac{8}{3}$，
由（1）可知a=3，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
由焦半径公式可得|FM|=a-ex1=3-$\frac{1}{3}$x1，|FP|=a-e×1=3-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$，|FN|=a-ex2=3-$\frac{1}{3}$x2，
假设|FM|，|FP|，|FN|能构成等差数列，则2|PF|=|FM|+|FN|，
即2×$\frac{8}{3}$=3-$\frac{1}{3}$x1+3-$\frac{1}{3}$x2=6-$\frac{1}{3}$（x1+x2）=6-$\frac{1}{3}$×2=$\frac{16}{3}$，
显然成立，即|FM|，|FP|，|FN|能构成等差数列．
设公差为d，则d=|FP|-|FM|=$\frac{8}{3}$-（3-$\frac{1}{3}$x1）=$\frac{1}{3}$x1-$\frac{1}{3}$．
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1，作差可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{9}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{8}$=0，
即有kMN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{8}{9}$×$\frac{2}{-\frac{8}{3}}$=$\frac{2}{3}$，
可得直线MN的方程为y+$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$（x-1），与椭圆方程联立，可得x2-2x-3=0，解得x=-1或3，
所以d=±$\frac{2}{3}$．

解析

考查要点：本题结合椭圆的第二定义、焦半径公式及重心坐标公式，综合考查椭圆方程求解、等差数列的判定与公差计算。

解题核心思路：

  1. 第一问：利用准线方程与点到准线的距离关系，确定椭圆参数$a, b, c$，结合点P的特殊位置（PF垂直x轴）直接求坐标。
  2. 第二问：通过重心坐标公式建立方程，结合焦半径公式表达各焦半径长度，利用等差数列的性质验证条件，最后通过联立方程求解公差。

破题关键点：

  • 准线方程与焦半径公式的应用：通过准线方程$x=9$反推$a^2/c=9$，结合点P到准线的距离$9 - c =8$求出$c=1$。
  • 重心坐标的转化：利用重心坐标公式将点M、N的坐标关系转化为$x_1 + x_2 = 2$，$y_1 + y_2 = -\frac{8}{3}$。
  • 等差数列的代数验证：通过焦半径公式表达各长度，代入等差数列条件$2|FP| = |FM| + |FN|$，结合$x_1 + x_2 = 2$直接验证成立。

第（1）题

确定准线参数

由准线方程$x = \frac{a^2}{c} = 9$，得$a^2 = 9c$。
点P到准线的距离为$9 - c = 8$，解得$c = 1$，代入$a^2 = 9c$得$a = 3$，进而$b^2 = a^2 - c^2 = 8$。

求点P坐标

PF垂直x轴，说明P的横坐标为$c = 1$，代入椭圆方程$\frac{1^2}{9} + \frac{y_0^2}{8} = 1$，解得$y_0 = \frac{8}{3}$，故$P(1, \frac{8}{3})$。

第（2）题

重心坐标条件

设$M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$，重心为$F(1, 0)$，则：
$\frac{1 + x_1 + x_2}{3} = 1 \implies x_1 + x_2 = 2, \quad \frac{\frac{8}{3} + y_1 + y_2}{3} = 0 \implies y_1 + y_2 = -\frac{8}{3}.$

焦半径表达式

由焦半径公式：
$|FM| = 3 - \frac{1}{3}x_1, \quad |FP| = \frac{8}{3}, \quad |FN| = 3 - \frac{1}{3}x_2.$

等差数列验证

若$|FM|, |FP|, |FN|$成等差数列，则$2|FP| = |FM| + |FN|$：
$2 \cdot \frac{8}{3} = \left(3 - \frac{1}{3}x_1\right) + \left(3 - \frac{1}{3}x_2\right) \implies \frac{16}{3} = 6 - \frac{1}{3}(x_1 + x_2) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}.$
等式成立，说明能构成等差数列。

公差计算

公差$d = |FP| - |FM| = \frac{8}{3} - \left(3 - \frac{1}{3}x_1\right) = \frac{1}{3}(x_1 - 1)$。
联立椭圆方程与直线MN方程，解得$x_1 = -1$或$3$，对应$d = \pm \frac{2}{3}$。