题目
设X_(1),X_(2),...,X_(10)是总体N(0,0.04)的一个样本， 则Psum_{i=1)^10X_(i)^2>0.1576}=( ) (A)3.94 (B)0.05 (C)0.95 (D)0.83 A A. B B. C C. D D.
设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{10}$是总体$N(0,0.04)$的一个样本， 则$P\{\sum_{i=1}^{10}X_{i}^{2}>0.1576\}=( )$ (A)3.94 (B)0.05 (C)0.95 (D)0.83 A
A. B
B. C
C. D
D.
A. B
B. C
C. D
D.
题目解答
答案
设 $Y_i = \frac{X_i}{0.2}$，则 $Y_i \sim N(0,1)$，且 $\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \sim \chi^2(10)$。
将原不等式转换为：
\[
P\left\{\sum_{i=1}^{10} X_i^2 > 0.1576\right\} = P\left\{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 > \frac{0.1576}{0.04}\right\} = P\left\{\chi^2(10) > 3.94\right\}
\]
查卡方分布表得 $\chi^2_{0.05}(10) = 3.94$，故
\[
P\left\{\chi^2(10) > 3.94\right\} = 0.05
\]
答案：$\boxed{B}$。
解析
步骤 1：标准化样本
由于 $X_i \sim N(0,0.04)$，我们首先将 $X_i$ 标准化。设 $Y_i = \frac{X_i}{\sqrt{0.04}} = \frac{X_i}{0.2}$，则 $Y_i \sim N(0,1)$。
步骤 2：转换求和项
将原不等式中的 $X_i$ 替换为 $Y_i$，得到：
\[ \sum_{i=1}^{10} X_i^2 = \sum_{i=1}^{10} (0.2 Y_i)^2 = 0.04 \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \]
因此，原不等式变为：
\[ P\left\{0.04 \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 > 0.1576\right\} = P\left\{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 > \frac{0.1576}{0.04}\right\} = P\left\{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 > 3.94\right\} \]
步骤 3：利用卡方分布
由于 $Y_i \sim N(0,1)$，则 $\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \sim \chi^2(10)$。查卡方分布表，找到 $\chi^2_{0.05}(10) = 3.94$，即 $P\left\{\chi^2(10) > 3.94\right\} = 0.05$。
由于 $X_i \sim N(0,0.04)$，我们首先将 $X_i$ 标准化。设 $Y_i = \frac{X_i}{\sqrt{0.04}} = \frac{X_i}{0.2}$，则 $Y_i \sim N(0,1)$。
步骤 2：转换求和项
将原不等式中的 $X_i$ 替换为 $Y_i$，得到：
\[ \sum_{i=1}^{10} X_i^2 = \sum_{i=1}^{10} (0.2 Y_i)^2 = 0.04 \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \]
因此，原不等式变为：
\[ P\left\{0.04 \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 > 0.1576\right\} = P\left\{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 > \frac{0.1576}{0.04}\right\} = P\left\{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 > 3.94\right\} \]
步骤 3：利用卡方分布
由于 $Y_i \sim N(0,1)$，则 $\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \sim \chi^2(10)$。查卡方分布表，找到 $\chi^2_{0.05}(10) = 3.94$，即 $P\left\{\chi^2(10) > 3.94\right\} = 0.05$。