已知A，B为3阶矩阵，且满足2A -1B=B-4E．其中E是3阶单位矩阵； （1）证明：矩阵A-2E可逆； （2）若B= [ 1 1 0 -2 2 0 0 0 2 ]，求矩阵A．

考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形、可逆矩阵的证明以及逆矩阵的应用。
解题思路：

1. 第一问：通过对方程进行变形，构造出形如$(A-2E)C=E$的表达式，从而证明$A-2E$可逆。
2. 第二问：利用第一问的结论，将$A$表示为$2E$与$(B-4E)^{-1}$的组合，结合具体矩阵$B$求出逆矩阵，最终得到$A$的表达式。
   关键点：

• 矩阵方程的变形技巧，如移项、提取公因子。
• 逆矩阵的定义，即找到与$A-2E$相乘为单位矩阵的矩阵。
• 分块矩阵的逆矩阵计算，简化计算过程。

第（1）题

目标：证明$A-2E$可逆。
步骤：

1. 原方程变形：
   从$2A^{-1}B = B - 4E$出发，两边左乘$A$得：
   $2B = AB - 4A.$
2. 整理方程：
   移项得$AB - 2B = 4A$，提取公因子$B$：
   $B(A - 2E) = 4A.$
3. 进一步变形：
   两边同时右乘$E$并整理：
   $(A - 2E)(B - 4E) = 8E.$
4. 结论：
   由$(A - 2E)(B - 4E) = 8E$，两边同乘$\frac{1}{8}$得：
   $(A - 2E) \cdot \frac{1}{8}(B - 4E) = E.$
   因此，$A - 2E$可逆，其逆矩阵为$\frac{1}{8}(B - 4E)$。

第（2）题

目标：求矩阵$A$。
步骤：

1. 利用第一问结论：
   由$A - 2E = 8(B - 4E)^{-1}$，得：
   $A = 2E + 8(B - 4E)^{-1}.$
2. 计算$B - 4E$：
   $B - 4E = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$
3. 求逆矩阵$(B - 4E)^{-1}$：
   • 分块计算：前两行两列块的逆矩阵为$\frac{1}{8}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$，第三行第三列块的逆为$-\frac{1}{2}$。
   • 结果：
     $(B - 4E)^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8} & 0 \\ \frac{1}{4} & -\frac{3}{8} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$
4. 代入求$A$：
   $A = 2E + 8 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} & -\frac{1}{8} & 0 \\ \frac{1}{4} & -\frac{3}{8} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$