题目
3.设总体X的概率密度为f(x;theta)=}(2)/(theta^2)(theta-x),&0<theta,0,&其他,X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自X的一个样本，求θ的矩估计量.
3.设总体X的概率密度为
$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{2}{\theta^{2}}(\theta-x),&0<\theta,\\0,&其他,\end{cases}$
$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自X的一个样本，求θ的矩估计量.
题目解答
答案
计算总体期望 $E(X)$：
\[
E(X) = \int_0^\theta x \cdot \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) \, dx = \int_0^\theta \left( \frac{2x\theta}{\theta^2} - \frac{2x^2}{\theta^2} \right) \, dx = \theta - \frac{2\theta}{3} = \frac{\theta}{3}.
\]
令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望：
\[
\frac{\theta}{3} = \overline{X} \quad \Rightarrow \quad \theta = 3\overline{X}.
\]
**答案：**
\[
\boxed{3\overline{X}}
\]
解析
步骤 1：计算总体期望 $E(X)$
根据给定的概率密度函数 $f(x;\theta)$，计算总体期望 $E(X)$。总体期望的计算公式为：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x;\theta) \, dx. \]
由于 $f(x;\theta)$ 在 $0 < x < \theta$ 时非零，因此积分范围为 $0$ 到 $\theta$：
\[ E(X) = \int_0^\theta x \cdot \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) \, dx. \]
步骤 2：计算积分
将积分式展开并计算：
\[ E(X) = \int_0^\theta \left( \frac{2x\theta}{\theta^2} - \frac{2x^2}{\theta^2} \right) \, dx = \int_0^\theta \left( \frac{2x}{\theta} - \frac{2x^2}{\theta^2} \right) \, dx. \]
分别计算两个积分：
\[ \int_0^\theta \frac{2x}{\theta} \, dx = \frac{2}{\theta} \int_0^\theta x \, dx = \frac{2}{\theta} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^\theta = \frac{2}{\theta} \cdot \frac{\theta^2}{2} = \theta, \]
\[ \int_0^\theta \frac{2x^2}{\theta^2} \, dx = \frac{2}{\theta^2} \int_0^\theta x^2 \, dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{2}{\theta^2} \cdot \frac{\theta^3}{3} = \frac{2\theta}{3}. \]
因此，总体期望为：
\[ E(X) = \theta - \frac{2\theta}{3} = \frac{\theta}{3}. \]
步骤 3：求矩估计量
令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望 $E(X)$，得到：
\[ \frac{\theta}{3} = \overline{X} \quad \Rightarrow \quad \theta = 3\overline{X}. \]
根据给定的概率密度函数 $f(x;\theta)$，计算总体期望 $E(X)$。总体期望的计算公式为：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x;\theta) \, dx. \]
由于 $f(x;\theta)$ 在 $0 < x < \theta$ 时非零，因此积分范围为 $0$ 到 $\theta$：
\[ E(X) = \int_0^\theta x \cdot \frac{2}{\theta^2}(\theta - x) \, dx. \]
步骤 2：计算积分
将积分式展开并计算：
\[ E(X) = \int_0^\theta \left( \frac{2x\theta}{\theta^2} - \frac{2x^2}{\theta^2} \right) \, dx = \int_0^\theta \left( \frac{2x}{\theta} - \frac{2x^2}{\theta^2} \right) \, dx. \]
分别计算两个积分：
\[ \int_0^\theta \frac{2x}{\theta} \, dx = \frac{2}{\theta} \int_0^\theta x \, dx = \frac{2}{\theta} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^\theta = \frac{2}{\theta} \cdot \frac{\theta^2}{2} = \theta, \]
\[ \int_0^\theta \frac{2x^2}{\theta^2} \, dx = \frac{2}{\theta^2} \int_0^\theta x^2 \, dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{2}{\theta^2} \cdot \frac{\theta^3}{3} = \frac{2\theta}{3}. \]
因此，总体期望为：
\[ E(X) = \theta - \frac{2\theta}{3} = \frac{\theta}{3}. \]
步骤 3：求矩估计量
令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望 $E(X)$，得到：
\[ \frac{\theta}{3} = \overline{X} \quad \Rightarrow \quad \theta = 3\overline{X}. \]