12.设 _(1),(x)_(2),... ,(x)_(n),(x)_(n+1) 是来自N(μ,σ^2)的样本, overrightarrow ({x)_(n)}=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(x)_(i)(s)_(n)=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({x)_(i)-overline ({x)_(n)})}^2 试求常-|||-数c使得 _(c)=cdfrac ({x)_(n+1)-overline ({x)_(n)}}({S)_(n)} 服从t分布,并指出分布的自由度.

步骤 1：确定样本均值和样本方差的性质
样本均值 $\overline {{x}_{n}}$ 和样本方差 ${s}_{n}$ 分别是样本 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}$ 的均值和方差。由于 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{x}_{n+1}$ 是来自正态分布N(μ,σ^2)的样本，因此 $\overline {{x}_{n}}$ 服从正态分布N(μ,σ^2/n)，而 ${s}_{n}$ 服从自由度为n-1的卡方分布。

步骤 2：确定t分布的定义
t分布定义为：如果随机变量 $Z$ 服从标准正态分布N(0,1)，随机变量 $U$ 服从自由度为 $v$ 的卡方分布，且 $Z$ 和 $U$ 相互独立，则随机变量 $T = \frac{Z}{\sqrt{U/v}}$ 服从自由度为 $v$ 的t分布。

步骤 3：构造t分布
为了使 ${t}_{c}=c\dfrac {{x}_{n+1}-\overline {{x}_{n}}}{{S}_{n}}$ 服从t分布，我们需要构造一个标准正态分布的随机变量和一个卡方分布的随机变量。注意到 ${x}_{n+1}-\overline {{x}_{n}}$ 服从正态分布N(0,σ^2(1+1/n))，而 ${s}_{n}$ 服从自由度为n-1的卡方分布。因此，我们需要找到一个常数c，使得 ${t}_{c}$ 的形式符合t分布的定义。

步骤 4：确定常数c
为了使 ${t}_{c}$ 服从t分布，我们需要使 ${t}_{c}$ 的分母为 ${s}_{n}$ 的标准差，即 $\sqrt{{s}_{n}/(n-1)}$。因此，我们需要将 ${x}_{n+1}-\overline {{x}_{n}}$ 的标准差 $\sqrt{σ^2(1+1/n)}$ 除以 $\sqrt{{s}_{n}/(n-1)}$，得到常数c。因此，$c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$。

步骤 5：确定t分布的自由度
由于 ${s}_{n}$ 服从自由度为n-1的卡方分布，因此 ${t}_{c}$ 的自由度为n-1。