题目
设随机变量X与Y相互独立,X、Y都服从正态分布,且 sim N(0,dfrac (1)(4))-|||-sim N(0,dfrac (3)(4)) 若 =X+Y, 求 |Z|() 。|选择|-|||-查看答案-|||-A. dfrac (sqrt {2)}(sqrt {pi )}-|||-B. dfrac (2)(sqrt {pi )}-|||-C.0-|||-D. dfrac (1)(sqrt {2pi )}
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定Z的分布
由于X和Y都是正态分布，且相互独立，所以Z=X+Y也是正态分布。根据正态分布的性质，Z的均值为$E(Z)=E(X)+E(Y)=0+0=0$，方差为$Var(Z)=Var(X)+Var(Y)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$。因此，$Z\sim N(0,1)$。
步骤 2：计算$E|Z|$
对于标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，$E|Z|$的计算公式为$E|Z|=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$。这是因为$E|Z|$是标准正态分布的绝对值的期望值，其值为$\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$。
步骤 3：选择正确答案
根据步骤2的计算结果，$E|Z|=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$，因此正确答案为A选项。
由于X和Y都是正态分布，且相互独立，所以Z=X+Y也是正态分布。根据正态分布的性质，Z的均值为$E(Z)=E(X)+E(Y)=0+0=0$，方差为$Var(Z)=Var(X)+Var(Y)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$。因此，$Z\sim N(0,1)$。
步骤 2：计算$E|Z|$
对于标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，$E|Z|$的计算公式为$E|Z|=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$。这是因为$E|Z|$是标准正态分布的绝对值的期望值，其值为$\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$。
步骤 3：选择正确答案
根据步骤2的计算结果，$E|Z|=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$，因此正确答案为A选项。