题目

19、设随机变量X服从分布N(mu,sigma^2)则Y=X-μ服从分布N(0,1).( )(3分)bigcirc正确bigcirc错误

19、设随机变量X服从分布$N(\mu,\sigma^{2})$则Y=X-μ服从分布$N(0,1)$.( )(3分) $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

设随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，则 $ X $ 的均值为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2 $。令 $ Y = X - \mu $，则： - **均值**：$ E(Y) = E(X - \mu) = \mu - \mu = 0 $ - **方差**：$ \text{Var}(Y) = \text{Var}(X - \mu) = \sigma^2 $ 因此，$ Y $ 服从正态分布 $ N(0, \sigma^2) $。仅当 $ \sigma^2 = 1 $ 时，$ Y $ 才服从标准正态分布 $ N(0,1) $。题目未明确 $ \sigma^2 = 1 $，故结论错误。 答案：$\boxed{\text{错误}}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质，特别是均值和方差的变化规律。

解题核心思路：
当对正态分布随机变量进行线性变换时，其均值和方差会发生相应的变化。具体来说，若$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则$Y = X - \mu$的均值为$0$，但方差仍为$\sigma^2$。只有当方差标准化（即除以$\sigma$）后，才能得到标准正态分布$N(0,1)$。

破题关键点：

  • 均值的变换：减去均值$\mu$后，新变量的均值为$0$。
  • 方差的不变性：仅平移变换（加减常数）不会改变方差，因此方差仍为$\sigma^2$。
  • 标准正态分布的条件：若要使方差变为$1$，需进一步除以$\sigma$，即$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。

  1. 计算新变量$Y$的均值
    $E(Y) = E(X - \mu) = E(X) - \mu = \mu - \mu = 0$
    因此，$Y$的均值为$0$。

  2. 计算新变量$Y$的方差
    $\text{Var}(Y) = \text{Var}(X - \mu) = \text{Var}(X) = \sigma^2$
    因此，$Y$的方差仍为$\sigma^2$。

  3. 判断分布类型
    由于$Y$的均值为$0$，方差为$\sigma^2$，其分布应为$N(0, \sigma^2)$。
    只有当$\sigma^2 = 1$时，$Y$才服从标准正态分布$N(0,1)$。
    题目未明确$\sigma^2 = 1$，因此结论错误。