计算极限 lim_(x to +infty) ( sqrt(x^2 + x) - sqrt(x^2 - x) ).

我们要求极限：

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right)$

这是一个“无穷大减无穷大”型的不定式，直接代入会得到 $\infty - \infty$，形式不确定，因此需要进行代数变形来化简。

第一步：有理化

我们使用有理化的方法，即乘以共轭表达式：

$\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} = \frac{(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}$

分子是平方差公式：

$(\sqrt{x^2 + x})^2 - (\sqrt{x^2 - x})^2 = (x^2 + x) - (x^2 - x) = 2x$

所以原式变为：

$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}$

现在我们要求：

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}$

第二步：提取主项，化简根号

我们注意到当 $x \to +\infty$ 时，$x^2$ 是主导项，因此可以从根号中提取 $x$。

由于 $x > 0$，所以 $\sqrt{x^2} = x$，我们可以这样处理：

$\sqrt{x^2 + x} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}, \quad \sqrt{x^2 - x} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$

因此分母为：

$\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x} = x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \right)$

分子是 $2x$，所以整个分式变为：

$\frac{2x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \right)} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$

第三步：取极限

当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，所以：

$\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \to \sqrt{1} = 1, \quad \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \to \sqrt{1} = 1$

因此分母趋于 $1 + 1 = 2$，整个表达式趋于：

$\frac{2}{1 + 1} = 1$

最终答案：

$\boxed{1}$