题目

1.x=0是函数y=xcos(1)/(x)的第____类间断点.

1.x=0是函数$y=x\cos\frac{1}{x}$的第____类间断点.

题目解答

答案

函数 $y = x \cos \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处无定义。
计算极限：
$\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0$
（因 $x \to 0$ 时，$x$ 趋于 0，而 $\cos \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 内 oscillate，极限为 0）。
极限存在但函数在 $x = 0$ 处无定义，故 $x = 0$ 为可去间断点，属于第一类间断点。

答案：
$\boxed{\text{第一类}}$

解析

本题考查函数间断点的分类相关知识。解题思路是先判断函数在该点是否有定义，若没有定义则为间断点，接着计算函数在该点的极限，再根据极限的情况对间断点进行分类。

  1. 判断函数在$x = 0$处的定义情况：
    对于函数$y = x\cos\frac{1}{x}$，当$x = 0$时，$\frac{1}{x}$无意义，所以函数$y = x\cos\frac{1}{x}$在$x = 0$处无定义，因此$x = 0$是函数的间断点。
  2. 计算函数在$x = 0$处的极限：
    根据极限的运算法则，求$\lim_{x \to 0} x\cos\frac{1}{x}$。
    因为$\cos\frac{1}{x}$是有界函数，即$\vert\cos\frac{1}{x}\vert\leqslant1$，而当$x\to0$时，$\lim_{x \to 0}x = 0$。
    根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小这一性质，可得$\lim_{x \to 0} x\cos\frac{1}{x}=0$。
  3. 根据极限情况对间断点进行分类：
    间断点分为第一类间断点和第二类间断点，其中第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，可去间断点的特点是函数在该点极限存在，但函数在该点无定义或函数值不等于极限值；跳跃间断点的特点是函数在该点左、右极限都存在但不相等。第二类间断点是指函数在该点的左、右极限至少有一个不存在。
    由于函数$y = x\cos\frac{1}{x}$在$x = 0$处极限存在（$\lim_{x \to 0} x\cos\frac{1}{x}=0$），但函数在$x = 0$处无定义，所以$x = 0$是可去间断点，可去间断点属于第一类间断点。