题目
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计-|||-甲机床 150 50 200-|||-乙机床 120 80 200-|||-合计 270 130 400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少。(2)能否有99% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：(K)^2 =({n{(ad-bc))^2 }over((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)) }。一级品 二级品 合计-|||-甲机床 150 50 200-|||-乙机床 120 80 200-|||-合计 270 130 400
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了$$200$$件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少。
(2)能否有$$99\% $$的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：$${K}^{2} ={{n{(ad-bc)}^{2} }\over{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} }$$。
题目解答
答案
(1)甲机床生产一级品的频率为$$150\div200=0.75$$，
乙机床生产一级品的频率为$$120\div200=0.6$$。
(2)由列联表求得$$K^2=\frac {400\times(150\times 80-50\times 120)^2}{270\times 130\times 200\times 200}=\frac {400\times 6000^2}{270\times 130\times 200\times 200}\approx 10.26>6.635$$，
则有$$99\% $$的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
解析
步骤 1：计算甲机床生产一级品的频率
根据题目中给出的数据，甲机床生产一级品的数量为150件，总生产数量为200件。因此，甲机床生产一级品的频率为$$150\div200=0.75$$。
步骤 2：计算乙机床生产一级品的频率
根据题目中给出的数据，乙机床生产一级品的数量为120件，总生产数量为200件。因此，乙机床生产一级品的频率为$$120\div200=0.6$$。
步骤 3：计算$${K}^{2}$$值
根据题目中给出的公式$${K}^{2} ={{n{(ad-bc)}^{2} }\over{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} }$$，其中$$a=150$$，$$b=50$$，$$c=120$$，$$d=80$$，$$n=400$$。代入公式计算得$${K}^{2}=\frac {400\times(150\times 80-50\times 120)^2}{270\times 130\times 200\times 200}=\frac {400\times 6000^2}{270\times 130\times 200\times 200}\approx 10.26$$。
步骤 4：判断是否能有$$99\%$$的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
根据题目中给出的表格，当$$P(K^2≥k)$$为$$0.010$$时，$$k=6.635$$。由于计算得到的$${K}^{2}$$值为$$10.26$$，大于$$6.635$$，因此可以有$$99\%$$的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
根据题目中给出的数据，甲机床生产一级品的数量为150件，总生产数量为200件。因此，甲机床生产一级品的频率为$$150\div200=0.75$$。
步骤 2：计算乙机床生产一级品的频率
根据题目中给出的数据，乙机床生产一级品的数量为120件，总生产数量为200件。因此，乙机床生产一级品的频率为$$120\div200=0.6$$。
步骤 3：计算$${K}^{2}$$值
根据题目中给出的公式$${K}^{2} ={{n{(ad-bc)}^{2} }\over{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} }$$，其中$$a=150$$，$$b=50$$，$$c=120$$，$$d=80$$，$$n=400$$。代入公式计算得$${K}^{2}=\frac {400\times(150\times 80-50\times 120)^2}{270\times 130\times 200\times 200}=\frac {400\times 6000^2}{270\times 130\times 200\times 200}\approx 10.26$$。
步骤 4：判断是否能有$$99\%$$的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
根据题目中给出的表格，当$$P(K^2≥k)$$为$$0.010$$时，$$k=6.635$$。由于计算得到的$${K}^{2}$$值为$$10.26$$，大于$$6.635$$，因此可以有$$99\%$$的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。