若随机变量X~N(2,)，且P(2<X<4)=0.3，则P(X<0)=

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换和标准正态分布表的使用，以及利用对称性求解概率。

解题核心思路：

1. 标准化变换：将正态分布变量转化为标准正态变量，利用已知概率求出关键分位点。
2. 对称性应用：通过标准正态分布的对称性，将所求概率转化为已知区间的概率。

破题关键点：

• 确定标准正态变量的分位点：根据已知条件 $P(2 < X < 4) = 0.3$，通过标准化得到对应的标准正态变量范围，进而求出分位点。
• 利用对称性求解：将 $P(X < 0)$ 转化为标准正态分布的概率，结合分位点的对称性直接得出结果。

步骤1：标准化变换

设 $X \sim N(2, \sigma^2)$，则标准化变量为：
$Z = \frac{X - 2}{\sigma} \sim N(0, 1)$

根据题意，$P(2 < X < 4) = 0.3$，标准化后：
$P\left(0 < Z < \frac{4 - 2}{\sigma}\right) = P(0 < Z < \frac{2}{\sigma}) = 0.3$

步骤2：求分位点

设 $\frac{2}{\sigma} = a$，则：
$P(0 < Z < a) = \Phi(a) - \Phi(0) = 0.3$
其中 $\Phi(a)$ 为标准正态分布的累积分布函数。已知 $\Phi(0) = 0.5$，因此：
$\Phi(a) = 0.3 + 0.5 = 0.8$
查标准正态分布表得，当 $\Phi(a) = 0.8$ 时，$a \approx 0.84$，即：
$\frac{2}{\sigma} = 0.84 \quad \Rightarrow \quad \sigma \approx \frac{2}{0.84} \approx 2.381$

步骤3：计算 $P(X < 0)$

标准化后：
$P(X < 0) = P\left(Z < \frac{0 - 2}{\sigma}\right) = P\left(Z < -\frac{2}{\sigma}\right) = P(Z < -0.84)$
根据标准正态分布的对称性：
$P(Z < -0.84) = 1 - \Phi(0.84) = 1 - 0.8 = 0.2$