题目
设总体 X 的均值为 mu，方差为 sigma^2，X_1, X_2, ldots, X_n 是来自总体的样本，则样本均值的方差为（）A. sigma^2/nB. sigma^2/(n-1)C. nsigma^2D. sigma^2
设总体 $X$ 的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体的样本，则样本均值的方差为（）
A. $\sigma^2/n$
B. $\sigma^2/(n-1)$
C. $n\sigma^2$
D. $\sigma^2$
题目解答
答案
A. $\sigma^2/n$
解析
步骤 1：定义样本均值
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，总体的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。样本均值 $\bar{X}$ 由下式给出： \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]
步骤 2：计算样本均值的方差
随机变量之和的方差等于它们方差的和，如果随机变量是独立的。由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体的样本，它们是独立的。因此，我们有： \[ \text{Var}(\bar{X}) = \text{Var}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) \] 由于每个 $X_i$ 的方差为 $\sigma^2$，我们可以将 $\sigma^2$ 代入 $\text{Var}(X_i)$： \[ \text{Var}(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} \]
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，总体的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。样本均值 $\bar{X}$ 由下式给出： \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]
步骤 2：计算样本均值的方差
随机变量之和的方差等于它们方差的和，如果随机变量是独立的。由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体的样本，它们是独立的。因此，我们有： \[ \text{Var}(\bar{X}) = \text{Var}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) \] 由于每个 $X_i$ 的方差为 $\sigma^2$，我们可以将 $\sigma^2$ 代入 $\text{Var}(X_i)$： \[ \text{Var}(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} \]