题目
1.设E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)均存在，若E(XY)=E(X)E(Y)，则下述结论正确的是（） A.D(XY)=D(X)D(Y) B.X,Y相互独立 C.X,Y不相互独立 D.(X+Y)=D(X)+D(Y) 2.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=}4xe^-2x,&x>00,&其他则方差D(-2X+1)=__. 3.设随机变量X与Y相互独立，D(X)=2，D(Y)=1，则D(X-2Y)=__.
1.设E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)均存在，若E(XY)=E(X)E(Y)，则下述结论正确的是（）
A.D(XY)=D(X)D(Y)
B.X,Y相互独立
C.X,Y不相互独立
D.(X+Y)=D(X)+D(Y) 2.设随机变量X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}4xe^{-2x},&x>0\\0,&其他\end{cases}$则方差$D(-2X+1)=\_\_$. 3.设随机变量X与Y相互独立，D(X)=2，D(Y)=1，则D(X-2Y)=\_\_.
A.D(XY)=D(X)D(Y)
B.X,Y相互独立
C.X,Y不相互独立
D.(X+Y)=D(X)+D(Y) 2.设随机变量X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}4xe^{-2x},&x>0\\0,&其他\end{cases}$则方差$D(-2X+1)=\_\_$. 3.设随机变量X与Y相互独立，D(X)=2，D(Y)=1，则D(X-2Y)=\_\_.
题目解答
答案
1. **答案：D**
由 $E(XY) = E(X)E(Y)$ 知 $X$ 与 $Y$ 不相关，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。
对于不相关变量，有 $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$，选项D正确。
2. **答案：2**
$X$ 的密度函数为 $f(x) = 4xe^{-2x}$（$x > 0$），为伽玛分布 $\Gamma(2, \frac{1}{2})$。
期望 $E(X) = k\theta = 1$，方差 $D(X) = k\theta^2 = \frac{1}{2}$。
故 $D(-2X+1) = 4D(X) = 2$。
3. **答案：6**
由独立性，$D(X-2Y) = D(X) + 4D(Y) = 2 + 4 \times 1 = 6$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
1 & D \\
2 & 2 \\
3 & 6 \\
\end{array}
}
\]
解析
题目1：考察随机变量的数字特征及相关性与独立性的关系
已知$E(XY)=E(X)E(Y)$，说明$X$与$Y$不相关（协方差$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$）。
- 选项A：$D(XY)=D(X)D(Y)$错误，方差不满足乘积性质，仅当$X,Y$独立且方差存在时才可能成立，但题目未给独立性条件。
- 选项B：$X,Y$相互独立是更强的条件，不相关不一定独立，错误。
- 选项C：不相关不能推出不独立，错误。
- 选项D：不相关变量满足$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，正确。
题目2：考察伽玛分布的方差及方差性质
随机变量$X$的概率密度$f(x)=4xe^{-2x}(x>0)$，符合伽玛分布$\Gamma(k,\theta)$的形式：$f(x)=\frac{1}{\theta^k\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-x/\theta}$。对比得$k=2$，$\theta=\frac{1}{2}$。
- 伽玛分布的期望$E(X)=k\theta=2\times\frac{1}{2}=1$，方差$D(X)=k\theta^2=2\times(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$。
- 由方差性质$D(aX+b)=a^2D(X)$，得$D(-2X+1)=(-2)^2D(X)=4\times\frac{1}{2}=2$。
题目3：考察独立变量的方差性质
$X$与$Y$相互独立，则对任意常数$a,b$，$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$。
- 代入$D(X-2Y)=D(X)+(-2)^2D(Y)=2+4\times1=6$。