题目

10.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，X_(1),X_(2)是来自总体X的样本，在mu的无偏估计量hat(mu)_(1)=(2)/(3)X_(1)+(1)/(3)X_(2)和hat(mu)_(2)=(1)/(4)X_(1)+(3)/(4)X_(2)中更有效的估计量是____.

10.设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2}$是来自总体X的样本，在$\mu$的无偏估计量$\hat{\mu}_{1}=\frac{2}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}$和$\hat{\mu}_{2}=\frac{1}{4}X_{1}+\frac{3}{4}X_{2}$中更有效的估计量是____.

题目解答

答案

计算两个估计量的方差： 1. $\hat{\mu}_1 = \frac{2}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2$ \[ \text{Var}(\hat{\mu}_1) = \left(\frac{2}{3}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2\sigma^2 = \frac{5}{9}\sigma^2 \] 2. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2$ \[ \text{Var}(\hat{\mu}_2) = \left(\frac{1}{4}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2\sigma^2 = \frac{5}{8}\sigma^2 \] 由于 $\frac{5}{9} < \frac{5}{8}$，$\hat{\mu}_1$ 的方差更小，故更有效。答案：$\boxed{\hat{\mu}_1}$

解析

有效性比较是本题的核心考查点。在无偏估计量中，方差更小的估计量更有效。解题的关键在于正确计算两个线性组合估计量的方差，并比较其大小。由于样本独立，方差计算时只需考虑系数平方和。

计算$\hat{\mu}_1$的方差

$\begin{aligned}\text{Var}(\hat{\mu}_1) &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \text{Var}(X_1) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \text{Var}(X_2) \\&= \left(\frac{4}{9} + \frac{1}{9}\right)\sigma^2 \\&= \frac{5}{9}\sigma^2\end{aligned}$

计算$\hat{\mu}_2$的方差

$\begin{aligned}\text{Var}(\hat{\mu}_2) &= \left(\frac{1}{4}\right)^2 \text{Var}(X_1) + \left(\frac{3}{4}\right)^2 \text{Var}(X_2) \\&= \left(\frac{1}{16} + \frac{9}{16}\right)\sigma^2 \\&= \frac{10}{16}\sigma^2 = \frac{5}{8}\sigma^2\end{aligned}$

比较方差

$\frac{5}{9} \approx 0.555$，$\frac{5}{8} = 0.625$，显然$\frac{5}{9} < \frac{5}{8}$，因此$\hat{\mu}_1$更有效。