题目

28、【判断题】标签：第六章测试 难度：易 分值：3若A，B都可逆，则A+B也可逆（）bigcirc正确 bigcirc错误

28、【判断题】标签：第六章测试 难度：易 分值：3 若A，B都可逆，则A+B也可逆（） $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

矩阵可逆的充要条件是其行列式非零。设 $A$ 和 $B$ 均可逆，则 $\det(A) \neq 0$，$\det(B) \neq 0$。但矩阵和的行列式不满足加法性质，即 $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$。 考虑反例：令 $A = I$（单位矩阵），$B = -I$，则 $A + B = 0$（零矩阵），而 $\det(0) = 0$，故 $A+B$ 不可逆。 因此，即使 $A$ 和 $B$ 可逆，$A+B$ 也不一定可逆。 答案：$\boxed{\text{错误}}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵可逆性的性质，特别是矩阵加法对可逆性的影响。

解题核心思路：
矩阵可逆的充要条件是其行列式非零。然而，矩阵和的行列式不满足简单的加法性质，即$\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$。因此，即使$A$和$B$都可逆（行列式非零），它们的和$A+B$的行列式也可能为零，导致不可逆。

破题关键点：
通过构造反例直接证明命题不成立。例如，取$A=I$（单位矩阵）和$B=-I$，此时$A+B=0$（零矩阵），其行列式为零，不可逆。

反例构造：

  1. 选择可逆矩阵：令$A = I$（单位矩阵），$B = -I$。

    • $\det(I) = 1 \neq 0$，故$I$可逆；
    • $\det(-I) = (-1)^n \neq 0$（$n$为矩阵阶数），故$-I$也可逆。

  2. 计算和矩阵：
    $A + B = I + (-I) = 0$
    结果为零矩阵。

  3. 验证可逆性：

    • 零矩阵的行列式$\det(0) = 0$，因此$A+B$不可逆。

结论：存在可逆矩阵$A$和$B$，使得$A+B$不可逆，故原命题错误。