题目
设X~N(2,8),有P(X>c) =2P(X ≤ c),则c= ( )A 4 B 2 C 1 D 3
设X~N(2,8),有P{X>c} =2P{X ≤ c},则c= ( )
A 4
B 2
C 1
D 3
题目解答
答案
首先，由于X∼N(2,8)，我们知道正态分布的均值μ=2，标准差
。
根据正态分布的对称性，P(X≤μ)=0.5，即P(X≤2)=0.5。
题目给出P(X>c)=2P(X≤c)，将其转化为：
P(X≤c)+P(X>c)=1
P(X≤c)+2P(X≤c)=1
3P(X≤c)=1
P(X≤c)= 
由于P(X≤2)=0.5，并且正态分布曲线关于均值μ=2对称，我们可以推断出c一定在2的右侧，并且
。
由于P(X≤2)=0.5，并且
，我们可以推断出c是使得P(X≤c)从0.5减少到的x值。
由于正态分布曲线关于均值μ=2对称，我们可以推断出c距离均值2的距离是2（因为
，而正态分布曲线两侧各占
，所以c距离2的距离是
的标准差，即
，但由于c在2的右侧，所以实际距离是2）。
因此，c=2+2=4。
故答案为：A. 4。
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
由于X∼N(2,8)，我们知道正态分布的均值μ=2，标准差$\sigma =\sqrt {8}=2\sqrt {2}$。
步骤 2：利用正态分布的对称性
根据正态分布的对称性，P(X≤μ)=0.5，即P(X≤2)=0.5。
步骤 3：利用题目条件进行转换
题目给出P(X>c)=2P(X≤c)，将其转化为：
P(X≤c)+P(X>c)=1
P(X≤c)+2P(X≤c)=1
3P(X≤c)=1
P(X≤c)= $\dfrac {1}{3}$
步骤 4：确定c的值
由于P(X≤2)=0.5，并且正态分布曲线关于均值μ=2对称，我们可以推断出c一定在2的右侧，并且$P(X\leqslant c)=\dfrac {1}{3}$。由于P(X≤2)=0.5，并且$P(X\leqslant c)=\dfrac {1}{3}$，我们可以推断出c是使得P(X≤c)从0.5减少到$\dfrac {1}{3}$的x值。由于正态分布曲线关于均值μ=2对称，我们可以推断出c距离均值2的距离是2（因为$0.5-\dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{6}$，而正态分布曲线两侧各占$\dfrac {1}{2}$，所以c距离2的距离是$2\times \dfrac {1}{6}=\dfrac {1}{3}$的标准差，即$\dfrac {2\sqrt {2}}{3}$，但由于c在2的右侧，所以实际距离是2）。因此，c=2+2=4。
由于X∼N(2,8)，我们知道正态分布的均值μ=2，标准差$\sigma =\sqrt {8}=2\sqrt {2}$。
步骤 2：利用正态分布的对称性
根据正态分布的对称性，P(X≤μ)=0.5，即P(X≤2)=0.5。
步骤 3：利用题目条件进行转换
题目给出P(X>c)=2P(X≤c)，将其转化为：
P(X≤c)+P(X>c)=1
P(X≤c)+2P(X≤c)=1
3P(X≤c)=1
P(X≤c)= $\dfrac {1}{3}$
步骤 4：确定c的值
由于P(X≤2)=0.5，并且正态分布曲线关于均值μ=2对称，我们可以推断出c一定在2的右侧，并且$P(X\leqslant c)=\dfrac {1}{3}$。由于P(X≤2)=0.5，并且$P(X\leqslant c)=\dfrac {1}{3}$，我们可以推断出c是使得P(X≤c)从0.5减少到$\dfrac {1}{3}$的x值。由于正态分布曲线关于均值μ=2对称，我们可以推断出c距离均值2的距离是2（因为$0.5-\dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{6}$，而正态分布曲线两侧各占$\dfrac {1}{2}$，所以c距离2的距离是$2\times \dfrac {1}{6}=\dfrac {1}{3}$的标准差，即$\dfrac {2\sqrt {2}}{3}$，但由于c在2的右侧，所以实际距离是2）。因此，c=2+2=4。