例6.24 设随机变量X1和X2独立同分布(方差大于零),令-|||-.=(X)_(1)+a(X)_(2) ,=(X)_(1)+b(X)_(2) (a,b均不为零),-|||-如果X与Y不相关,则有 () .-|||-(A)a,b可以是任意常数 (B) a=b-|||-(C)a与b互为负倒数 (D)a与b互为倒数

考查要点：本题主要考查随机变量的协方差与不相关性的关系，以及独立同分布随机变量的性质。

解题核心思路：

1. 不相关性的条件：两个随机变量不相关等价于它们的协方差为零。
2. 独立同分布的性质：独立同分布的随机变量满足期望相等、方差相等且协方差为零。
3. 协方差的线性性质：利用协方差的线性展开，结合独立性简化计算。

破题关键点：

• 将$X$和$Y$的表达式代入协方差公式，展开后利用独立性消去交叉项，最终得到关于$a$和$b$的方程。

步骤1：写出协方差表达式
根据题意，$X = X_1 + aX_2$，$Y = X_1 + bX_2$，协方差为：
$\begin{aligned}\text{Cov}(X, Y) &= \text{Cov}(X_1 + aX_2, X_1 + bX_2) \\&= \text{Cov}(X_1, X_1) + \text{Cov}(X_1, bX_2) + \text{Cov}(aX_2, X_1) + \text{Cov}(aX_2, bX_2)\end{aligned}$

步骤2：利用独立性简化
由于$X_1$与$X_2$独立，$\text{Cov}(X_1, X_2) = 0$，因此：

• $\text{Cov}(X_1, bX_2) = b \cdot \text{Cov}(X_1, X_2) = 0$
• $\text{Cov}(aX_2, X_1) = a \cdot \text{Cov}(X_2, X_1) = 0$

步骤3：计算剩余项

• $\text{Cov}(X_1, X_1) = \text{Var}(X_1) = D$
• $\text{Cov}(aX_2, bX_2) = ab \cdot \text{Var}(X_2) = abD$

步骤4：综合结果
将所有项代入，得：
$\text{Cov}(X, Y) = D + 0 + 0 + abD = D(1 + ab)$
由于$X$与$Y$不相关，$\text{Cov}(X, Y) = 0$，且$D > 0$，故：
$1 + ab = 0 \quad \Rightarrow \quad ab = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{b}$